CHAP. IV. — LEMMES DE G.VUSS

l'intégration s'étendant à tous les éléments de la surface S qui se trouvent dans la deuxième région.

Ajoutons membre à membre les deux égalités (a) et (6); la somme des premiers membres sera l'intégrale

Scos(r, Ne)rfS

étendue à la surface S tout entière, et nous obtiendrons le troisième lemme de Gauss :

Lorsque le point M est situé sur la surface S et que la surface admet en ce point un plan tangent unique, on a

cos(r, Ne)c?S

Si au point M la surface S, au lieu d'admettre un seul plan tangent, admettait plusieurs plans tangents ou un cône de tangentes à une ou plusieurs nappes, un raisonnement analogue donnerait aisément la valeur de l'intégrale

Scos(r, Ne)ifS

Si, par exemple, le point considéré est un point conique simple, on aura

a étant l'ouverture sphérique de la nappe du cône qui renferme la surface à son intérieur au voisinage du point considéré ; si le point considéré fait partie d'une arête, on aura encore la même formule,

- étant l'angle plan du dièdre qui, au voisinage de l'arête, comprend la surface à son intérieur.

§ 2. — Existence de la force d'attraction en un point intérieur aux charges agissantes. Conséquence des lemmes de Gauss.

Supposons qu'un système soit formé d'un ou de plusieurs corps renfermant à leur intérieur de l'électricité dont la densité solide soit p au point («, ^, c). Ce système renferme des surfaces de discontinuité sur lesquelles l'électricité est distribuée, et sa densité superficielle est a en un point de l'élément superficiel d'S. Soit M(.2;,y, c)

un point extérieur à toutes ces masses agissantes. Si ce point porte une unité d'électricité, il sera soumis, en vertu des lois de Coulomb, à une force ayant pour composantes

/' désignant, suivant les circonstances, soit la distance du point M au point (a, Z), c), soit la distance du point M à un point de l'élément dS.

Prenons maintenant le point M(a:,y, z) k l'intérieur des régions occupées par les charges agissantes, soit à distance finie de toute surface de discontinuité, soit même sur une surface de discontinuité. Laissons de côté, pour le moment, ce dernier cas, qui est le plus compliqué. Désignons par l'indice i le corps électrisé auquel appartient le point M, c'est-à-dire une masse d'étendue finie, entourant le point M et ne renfermant aucune surface de discontinuité.

Autour du point M, traçons une surface fermée assez petite pour qu'elle ne pénètre dans aucun corps du système autre que le corps i , et qu'elle ne rencontre aucune surface de discontinuité. Désignons par 0 cette surface.

Soit 2 la partie du corps i non comprise dans la surface 0.

Imaginons que toutes les charges électriques, sitviées en dehors de la surface 0, agissent sur le point M, chargé d'une unité d'électricité, conformément aux lois de Coulomb. La force exercée a pour composantes des quantités X, Y, Z, données par les égalités (4), qui peuvent encore s'écrire de la manière suivante :

— - da db de,

ox '

Dans ces expressions, le signe \] qui porte sur l'intégrale triple