CIIAP. IV. — LEMMES DE GAUSS
s'applique à tous les corps du système autres que le corps i ; le signe ^ qui porte sur l'intégrale de surface s'applique à toutes les surfaces de discontinuité du système; l'intégrale triple non soumise au signe \^ s'étend à tous les éléments de l'espace 2.
Ces expressions (5) peuvent se transformer.
Considérons la sphère de rayon i ayant le point M pour centre ; soit du un élément de la surface de cette sphère. Prenons le contour de cet élément pour directrice d'un cône infiniment délié ayant pour sommet le point M. Deux sphères décrites du point M comme centre avec des rayons /' et {^r + dr) découpent sur ce cône un élément de volume r-dlldr; on peut adopter, pour l'espace 2, ce mode de division en éléments de volume.
On peut donc écrire, au lieu des égalités (5),
le dernier signe V indiquant une sommation qui s'étend à tous les
éléments JS de la sphère de rayon i ayant le point M pour centre.
Supposons maintenant que la surface 0 se contracte de manière à venir s'évanouir au point M par une série quelconque de formes. Les deux premiers termes de l'expression de X demeurent invariables durant cette modification. Le troisième terme formé par une intégrale dont les limites et les éléments demeurent finis, lorsque la surface 0 s'évanouit, tend vers une limite finie dont la valeur ne dépend pas de la série de formes par lesquelles passe la surface 0. Donc X tend aussi vers une limite finie, indépendante de la série de formes par lesquelles passe la surface 0, et cette limite peut être représentée par la première des égalités (4).
Une démonstration analogue s'applique à Y et Z et nous permet d'énoncer la proposition suivante :
Si Von suppose que la loi de Coulomb exprime toujours r action mutuelle de deux particules électrisées, quelque petite que soit la distance qui sépare ces deux particules, Vaction
3o LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.
exercée sur un point chargé d'une unité d'électricité conserve une grandeur et une direction bien déterminée, même si le point fait partie d'un volume électrisé, pourvu qu'il soit à distance finie de toute surface de discontinuité électrisée. Les composantes de cette action sont représentées par les égalités (4).
Nous allons voir de plus que, dans ces conditions, chacune des trois composantes de la force est une fonction continue des coordonnées du point sur lequel agit la force.
Soient, en effet, deux points voisins M(^,y, z) et M'(^', /', z'). Autour du point M, traçons une surface fermée convexe, 0, enfermant aussi le point M'(x', jk', -z'), et ne rencontrant aucune surface de discontinuité.
Soit X l'une des composantes de la force exercée au point M.
Nous pourrons écrire
X = Xj -1- A2,
X, étant la composante de l'action exercée au point M par l'électricité répandue à l'intérieur de la surface 0, et X2 la composante de l'action exercée au point M par l'électricité extérieure à la surface 0. Une notation analogue nous permet d'écrire, pour le point M',
Nous aurons donc
A. — A. =^ X. — Xj —H Xq — X2.
Les raisonnements faits précédemment nous montrent que, pour tout point M" intérieur à la surface 0, on peut écrire
dx
x'i^SjT pâ'^'-^2,
dît étant un élément superficiel de la surface de rayon 1 ayant pour centre le point M", et R la distance au point M" d'un point de la surface 0 ayant sa perspective sphérique svir l'élément t/S. Cette expression nous montre que l'on peut toujours prendre la surface 0 assez petite, pour avoir en tout point M'' intérieur à cette surface
(' ) La notation a, empruntée à M. Weierstrass, signifie valeur absolue de a.
CHAP. IV. — LEMMES DE GAUSS. 3l
r, étant une quantité positive quelconqxie donnée d'avance. On aura donc, en particulier,
|x,|<|, ix;i<5.
La surface 0 étant ainsi choisie, remarquons que X2 est évidemment une fonction continue des coordonnées du point M, en sorte qu'on pourra tracer autour du point M une sphère S, en entier comprise à l'intérieur de la surface 0, et assez petite pour que l'on ait
toutes les fois que le point M' sera intérieur à cette sphère. On voit alors que, toutes les fois que le point M' sera intérieur à la
sphère S, on aura
ce qui démontre la continuité de la quantité X.
La proposition que nous venons de démontrer, combinée avec les lemmes de Gauss, va nous fournir un théorème que nous aurons constamment à appliquer au cours de ces Leçons.
Supposons que nous ajons un système formé d'un certain
Fig. 3.
nombre de corps continus à l'intérieur desquels la densité électrique solide a, en tout point, une valeur finie p ; ces corps sont séparés les uns des avitres par des surfaces de discontinuité en tout point desquelles la densité superficielle a une valeur finie o-. Un élément de volume dxdydz peut renfermer un élément c?0 d'une semblable surface. Il contient alors une charge électrique
dm = p dx dy dz -{- (7 d^,
Au travers de ce système, traçons une surface fermée S (Jig. 3),
à connexion simple ou multiple, dont tout point soit à distance finie de toute surface de discontinuité électrisée. Traçons ensuite deux surfaces iqui puissent, par une déformation continue, venir coïncider avec la surface S : l'une S', intérieure à l'espace limité par la surface S; l'autre. S", extérieure au même espace; nous supposerons, ce qu'il est toujours possible de faire, que l'on ait tracé ces surfaces de manière que l'espace qu'elles comprennent entre elles ne renferme aucune surface de discontinuité du système.
L'espace entier se trouve alors divisé en quatre régions :
La région 1, intérieure à la surface S';
La région 2, comprise entre S' et S ;
La région 3, comprise entre S et S" ;
La région 4, formée par l'espace illimité extérieur à S".
Considérons un élément de volume de la première région, élément situé autour du point M). Pour cet élément, qui renferme une quantité dm d'électricité, formons l'expression
tdm
COS(/-, Ne) rfS
r désignant la distance du point M, à un point de l'élément <iS et l'intégration s'étendant à toute la surface S. D'après le premier lemme de Gauss, cette quantité aura pour valeur
4 r.t dm .
Si nous intégrons ces deux quantités égales entre elles pour tout l'espace i , intérieur à S', nous trouverons l'égalité
(G) ^Jdm^p^^^-^=^.^Jdm.
Considérons maintenant un élément de volume de la région 4, élément de volume situé autour du point M4. Soit r la distance du point M;j à l'élément t/S. Pour cet élément, nous aurons, d'après le second lemme de Gauss,
, r\ cos(r, Ne) dS "^bi r^ ^^' '
