LIVRE I

LES FORCES ELECTROSTATIQUES.

Or on a

= [r^— 2 (a — x) ^x -I- Aa;2]2.

rr' {r ■+■ r) Aa?

et l'on a aussi les inégalités

\a — x\%r, \a — X — Aa? I ^ r',

cette dernière résultant de ce que la valeur absolue de A^ est la longueur du troisième côté d'un triangle dont les deux autres ont pour longueurs r et r' .

Ces inégalités, jointes à l'égalité précédente, donnent

Aa? \ r

r'{r-hf^') 7-r'

Si /• est inférieur à r', le second membre est inférieur à — ^^ Si

/• est au moins égal à r', le second membre est au plus égal à -7^ • On a donc, en tout cas.

Ax \ r

Cette inégalité obtenue, on voit que l'on aura

Vsjx + Aa7, jK, -s) — VaÇa;, y, ^)

Ax

IfM^

das dbz dc^

Or la quantité qui figure au second membre peut se transformer en prenant deux systèmes de coordonnées polaires. On aura

/ / / -^ da^ db^ dcz = X <3^w / p dr^

la première intégration s'étendant à tous les éléments d'ù de la sphère de rayon i ayant le point M pour centre, et R étant la longueur comprise entre le point M et la surface S sur un rayon passant par l'élément d^ù.

On aura de même

/ / / "^ <=^«3 db^ dc-i =y^d(ii' I p dr,

la première sommation s'étendant à tous les éléments doi' de la sphère de rayon i ayant pour centre le point M', et R' étant la longueur comprise entre le point M' et la surface S sur un rayon passant par l'élément doi'.

Ces deux formules montrent que l'on peut toujours choisir la surface S assez petite pour que l'on ait, quelle que soit la position des points M et M' dans le domaine 3,

I ""fff^ (^ ^ '^) '^"'^ '^^^ '^"^

ri étant une quantité positive choisie d'avance, et par conséquent

¥3(3? -+- Aar, y, z) —¥3(37, y, z)

ti.X

quelle que soit la position du point M' sur une parallèle h Ox menée par le point M et comprise à l'intérieur de la surface S.

Soit X.i la composante, parallèle à O^, de l'action exercée au point M par l'électricité répandue dans la région 4- Nous avons

-JIIï

-^ -r- dat db\ dc<^.

■2 dx

Or nous savons que l'on peut toujours choisir la surface S assezpetite pour que l'on ait

Nous pouvons supposer que l'on ait choisi la surface S assez petite pour que l'on ait à la fois l'inégalité (10) et l'inégalité (11).

La surface S étant ainsi choisie, remarquons que les propriétés de la fonction potentielle en un point extérieur aux masses agissantes nous donnent

^*="~' -di '

ce qui montre que l'on peut toujours choisir Zx assez petit pour <[ue le point M' soit compris à l'intérieur de la surface S toutes

les fois que l'on a

\^a;\^\ox\,

et que l'on ait aussi, toutes les fois que cette dernière condition est remplie,

Si l'on observe en outre que

Vi {x, y, z) =\z{x, y, z) +¥4(0?, y, z), Vi {x -+- \x, y, z)=\z{x + Aa?, 7, ^) 4- ¥4(3- -M- Aa?, y, z),

on voit que les inégalités (10), (i i) et (12) conduisent à la conclusion suivante :

Quelque petite que soit la quantité positive Yi donnée dUivance, on peut toujours trouver une quantité JinieZx^ telle que ron ait

Vi(a7-hA.r, jK, ^)— V,(a?, y,z)

<Tr,,

ùi.X

toutes les fois que l^x est au plus égal en valeur absolue à ox.

Tirons les conséquences de cette inégalité.

Elle nous montre que V, [x^ jk, z) admet au point M une dérivée partielle du premier ordre par rapport à x^ et que cette dérivée a pour valeur

p dr

„ , dai dbi dci, r'- ox

c'est-à-dire, d'après la première des égalités (3), — — • Ce résultat, joint aux égalités (i), (2) et (6), nous démontre aisément les propositions qui suivent, du moins en ce qui concerne la variable x ; les propositions qui concernent les deux autres variables s'établissent d'une manière analogue.

En un point d'une région où la densité solide de V électricité existe et a une valeur finie, la fonction potentielle admet des dérivées partielles du premier ordre par rapport à chacune des trois variables x, y, z.

Ces dérivées partielles sont exprimées par les égalités

dx

les notations ayant la même signification que dans Végalité{"j). Entre ces dérivées partielles et les composantes de la force au point considéré, on a les relations

ox ay dz

Enfin, en répétant presque textuellement la démonstration qui a servi à prouver la continuité de la fonction potentielle, on prouvera que ces dérivées partielles du premier ordre varient d^ une manière continue.

Les égalités (i5) entraînent une conséquence qui nous sera utile tout à l'heure.

Supposons qu'à l'intérieur d'un corps en chaque point duquel la densité solide de l'électricité existe et a une valeur finie, nous tracions une surface fermée S.

En un point de cette surface, prenons la composante ¥^ de la force suivant la normale N^ extérieure à la surface. 11 résulte des égalités (i5) que l'on a

Mais les lemmes de Gauss donnent [Chap. IV, égalité (i4)l

.')1L étant la charge électrique totale répandue à l'intérieur de la surface S ; la définition même de cette charge est

Oft = / / / P ^^ dy ^^>

l'intégrale triple s'étendant au volume entier compris à l'intérieur de la surface.

Les trois égalités que nous venons d'écrire donnent

^^^^ S ^ ''^ "^ "• ""fff^ "^"^ "^^ ^^ ^ "*■

C'est l'égalité que nous voulions établir.

§ 3. — Existence des dérivées partielles du second ordre de la fonction potentielle en un point intérieur aux charges agissantes.

Jusqu'ici nous avons admis seulement que l'on pouvait, autour du point M (^, jv', z), tracer une surface S, fermée, simplement connexe et convexe, telle que la densité solide p de l'électricité existe et ait une valeur finie en tous les points intérieurs à la surface S. Dans le présent paragraphe, nous supposerons en outre qu'e/i tous ces points la densité solide de l'électricité soit une /onction continue de £C, y, ^, admettant, par rapport à ces variables, des dérivées partielles du premier ordre qui soient Jinies.

Désignons toujours par i la région du corps intérieure à la surface S, et par 2 la région extérieure {fi g- 8).

Fig.

La première des égalités (i4) nous donne aisément

dx

p dr^

dx

dui dh\ dc\

Traçons, autour du point M, une surface S, comprise dans S, séparant la région i en deux autres régions : l'une, 3, intérieure

à S ; l'autre, 4j comprise entre S et S. Nous aurons alors

En premier lieu, on peut toujours prendre la surface S assez petite pour que l'on ait

(19) I fjf^ ■£ ^^3 ^*3 des

r, étant une valeur positive donnée d'avance. En second lieu, on voit aisément que

(■20) I I I 2 ir dai^db^dd,— / / / P ;^ — da^db^dc^,

dr X — «4 dr dx r da,^

l^a fonction - est finie, continue et uniforme en tout point de la

région 4î la fonction p(<2',, 64, C4) est uniforme, finie et continue, et admet, en tout point de la région 4? des dérivées partielles du premier ordre qui sont finies. Si donc on désigne par

dS un élément de la surface S \

N la normale à l'élément g?S vers l'intérieur de la région 4 ;

R la distance de l'élément dS au point M ;

d^ un élément de la surface S ; ^

cA. la distance de cet élément au point M ;

V la normale à cet élément vers l'intérieur de la région 4,

on aura, en vertu de l'égalité (2) du Chapitre III,

f f f P -^ — da,, db^ dci^ = — V -^ cos(N, x)dS — > "S" cos(v, x) dl,

5o LIVRE I. — LES FORCES ELECTROSTATIQUES.

La quantité

- --' - da'^ Ml dcL r dai

est la fonction potentielle au point M d'une masse électrique qui

serait répandue dans l'espace 4 de manière à avoir ■—- pour densité

solide en chaque point. 11 résulte alors de ce qui a été dit au § 1 du présent Chapitre que l'on peut toujours prendre la surface S assez petite pour que l'on ait

Si l'on désigne par d^ l'ouverture sphérique du petit cône ayant pour sommet le point M et pour directrice le contour de l'élément </S, on aura

iJ SI ^ ' ' VJ^ cos(v,^) '

la seconde sommation s'étendant à la surface de la sphère de rayon i ayant le point M pour centre. On voit alors que l'on peut prendre la surface S assez petite pour que l'on ait

(23) Q^cos(v, a7)c?2

On peut évidemment choisir la surface S assez petite pour que chacune des inégalités (19), (22) et (28) soit vérifiée. Alors, si l'on tient compte des égalités (17), (18), (20) et (21), on arrive au résultat suivant :

Il est toujours possible de prendre la surface S assez petite pour que l'on ait

<rr

rj étant une quantité positive quelconque donnée d'avance. Mais, si l'on observe que le premier membre ne dépend pas de la surface S, on voit qu'il faut que ce premier membre soit identiquement nul.

Ainsi, moyennant les restrictions indiquées au commencement

CHAP. V. — PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION POTENTIELLE. 5r

de ce numéro, on arrive au résultat suivant :

^^'^ ^ =^ S R '°'^^' ^^ "^^ '^ff/T- £t"^"^' "^^' ^""

Celte égalité (24) nous montre que moyennant les restrictions indiquées, la quantité -~ peut être regardée comme la fonction potentielle d'une certaine distribution électrique; dans tout l'espace I , cette distribution a pour densité solide ~ ■, et, sur la sur-

UCt\

face S, elle a pour densité superficielle p cos(N, x). On peut, dès lors, étendre à cette quantité les propriétés connues de la fonction potentielle, et notamment les propriétés dont la démonstration a fait l'objet du paragraphe précédent. On arrive ainsi à cette proposition :

Si, dans le domaine d^iin point, la densité électrique est une fonction uniforme, finie et continue des coordonnées , admettant des dérivées partielles du premier ordre qui sont finies, la fonction potentielle en ce point admet, par rapport aux coordonnées de ce point, des dérivées partielles du second ordre qui sont continues.

§ 4. — Équation de Poisson.

Supposons qu'en tout point situé à l'intérieur d'une surface fermée S, la densité électrique solide soit finie et varie d'une manière continue de ce point aux points voisins ; supposons en outre

, . ,, . , . „ ()2V ()2V dV2 . . ,

que les trois dérivées partielles -r-yj XT' Tl ' existent et soient des

fonctions finies et continues de .r, j', ^•

Traçons une surface quelconque S à l'intérieur de la surface S. Soit «:/S un élément de cette surface. Soit Ng la normale à l'élément f/S vers l'extérieur de la surface S. D'après l'égalité (16), nous aurons

l'intégrale triple s'étendant au volume enfermé par la surface 2. Si Ni désigne la normale à l'élément o^S vers l'intérieur de la

surface S, nous aurons

dY dV

dNc ~ d^i'

D'ailleurs, dans les conditions où nous nous trouvons, nous pourrons appliquer l'équation (6) du Chapitre III, qui donne

Nous trouvons donc

(AV+ /i-K^) dx dy dz = o.

Cette égalité exige que (AV-f- 4'^?) soit égal à o en tovit point intérieur à la surface S. Supposons, en effet, qu'en un point M, intérieur à la surface S, cette quantité soit différente de o et qu'elle soit, par exemple, positive; en vertu des hypothèses faites, elle varie d'une manière continue autour du point M; on peut donc, autour du point M, tracer une surface S assez petite pour que (AV+ 47Ï?) soit positif en tout point du volume enfermé par cette surface; pour que, par conséquent, l'intégrale

(AV-f- ^t:ç>) dx dy dz,

étendue au volume qu'enferme cette surface, soit une quantité positive, contrairement à ce que nous venons de démontrer.

Donc, si, dans le domaine d^ un point, la densité électrique solide existe, est finie et continue; si, dans ce domaine, les dérivées partielles du second ordre de la Jonction potentielle existent, sont finies et continues, on a, en ce point,

(25) AV = — 4Trp.

Cette éqviation, dite équation de Poisson, renferme comme cas particulier l'équation

AV=o,

donnée par Laplace pour le point extérieur aux charges agissantes.

§ 5. — Historique.

L'équation (aS) a été découverte en i8i3 par Poisson ('). La

(') Poisson, Remarques sur une équation qui se présente dans la théorie

démonstration que Poisson en donna à cette époque ne s'applique en toute rigueur qu'aux corps à l'intérieur desquels l'électricité est distribuée d'une manière homogène. Si un point ;M est situé à l'intérieur d'un semblable corps, on peut le prendre pour centre d'une sphère qui partage l'espace en deux régions : l'une i, intérieure à la sphère; l'autre 2, extérieure à cette sphère. On a alors

L'équation de Laplace nous donne

AVo^o,

et, d'autre part, le calcul de AV), facile à faire au moyen des théorèmes de Newton sur l'attraction des couches sphériques homogènes, donne