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ce qui démontre l'équation (aS) pour un volume uniformément électrisé. Lorsque le volume qui entoure le point considéré n'est pas uniformément électrisé, on peut, d'après Poisson, prendre le rayon de la sphère auxiliaire assez petit pour pouvoir regarder comme homogène l'électrisation à l'intérieur de cette sphère et reproduire la démonstration précédente.

Cette démonstration manque évidemment de rigueur. Poisson s'en aperçut et donna ultérieurement deux autres démonstrations du théorème important qu'il avait découvert.

La première de ces deux démonstrations ( ' ) est celle que nous venons de donner au paragraphe précédent; elle repose sur l'emploi des lemmes de Gauss, que Poisson démontre comme Gauss. Bien que Poisson ne cite pas le nom de Gauss, il est probable qu'il connaissait le travail publié par ce dernier sur l'attraction des ellipsoïdes; car, ainsi que le remarque j ustement M. Bacharach (-) :

des attractions des sphéroïdes ( Nouveau Bulletin de la Société philoniathique de Paris, vol. III, p. 388- 892; i8i3).

(') Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement {Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1828, t. VI, p. 455-463. Paris; 1827).

(') Max Bacharach, Abriss einer Geschichte der Potentialtheorie, p. n {Inauguraldissertation.yfiirzho\xT%; i883).

« Il est difficile de supposer que Poisson, qui s'occupait si profondément du problème de l'attraction des ellipsoïdes, comme en font foi les importants travaux qu'il a publiés sur ce sujet, ait encore ignoré après treize années le travail de Gauss, qui n'avait pas tardé à devenir célèbre. »

La seconde démonstration de Poisson ( ' ) repose sur les propriétés des fonctions de Laplace.

Poisson admettait, sans se préoccuper de la démontrer, l'existence de la fonction potentielle et de ses dérivées partielles du premier et du second ordre à l'intérieur des charges agissantes. Gauss, le premier, sentit cette lacune et chercha à la combler dans un Mémoire (-) qui a une importance capitale pour la théorie de la fonction potentielle. Gauss montra (*), par la méthode que nous avons reproduite au § 1 du présent Chapitre, que l'intégrale qvii définit la fonction potentielle en un point extérieur aux charges agissantes continue à représenter, à l'intérieur des charges agissantes, une fonction finie et continue des coordonnées.

Gauss ('') donna aussi une démonstration analogue au sujet des intégrales qui, à l'intérieur des charges agissantes, représentent les dérivées partielles du premier ordre de la fonction potentielle. Cette démonstration a été reproduite par Dirichlet (■'), Riemann (") et Heine (^).

Mais il ne suffit pas de démontrer que ces intégrales continuent à représenter des fonctions continues des coordonnées à l'intérieur des charges agissantes, pour pouvoir affirmer que ces fonctions

(') Poisson, Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes {Connaissance des Temps pour 1829, p. 354-364. Paris; 1826).

(^) Gauss, Allgemeine Lehrsàtze in beziehung auf die im verkehrten Verhàltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs- Kràfte {Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre, 1839. Publiés par Gauss et Weber à Leipzig en iSjo. — Gauss, Werke, t- V, p. 197).

C) Gauss, Allgemeine Lehrsàtze, § G (Gauss, Werke, t. V, p. 202).

('•) Gauss, ibid.

(5) Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen ûber die im umgekehrten verhâltniss des Quadrats der Entfernung wirkenden Kràfte, publiées par F. Grube, § 4. Leipzig ; 1876.

(0 Riemann, Schwere, Elektricitât und Magnetismus, rédigé par K. Haltendorfi", § 6. Hanovre; 1876.

(') Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, t. H, § 17.

continues sont encore, à l'intérieur des charges agissantes, les trois dérivées de la fonction potentielle.

Clausius ( ' ) donna, le premier, une démonstration de cette dernière proposition; mais sa démonstration repose sur l'emploi d'une intégration par parties dont la légitimité même suppose l'exactitude de la proposition à démontrer.

La première démonstration satisfaisante du théorème en question est due à Bouquet et se trouve dans la Théorie mécanique de la chaleur de Briot (-). La démonstration que nous avons donnée est due à M. Otto Hôlder ( »).

L'existence des dérivées secondes de la fonction potentielle a été démontrée par Gauss (^) à peu près comme nous l'avons indiqué dans ce Chapitre. Cette démonstration, comme celle qui a été donnée par Clausius {^) suppose essentiellement l'existence des dérivées partielles de la densité électrique au voisinage du point considéré. M. Otto Holder (®) a montré que les dérivées partielles de la fonction potentielle existaient encore dans le cas beaucoup plus général où l'on admet seulement l'hypothèse suivante :

Autour du point M.[x^y^z), on peut tracer un domaine tel que, pour tout point M'(.r',y', z') de ce domaine, on ait

lA .

\9{x\y,z')—p{x,y,z)\<kMm' ,

A et [X étant deux constantes positives; si, de plus, pour deux points quelconques M.'{x\y^ z') et Ml'{x"^y\ z") de ce domaine, on a

\ç>{x",y',z")-?{x',y\z')\<XM^'^,

les dérivées partielles du second ordre de la fonction potentielle sont continues au point M.

(') Clausius, Die Potentialfunktion und dos Potential; Brunswick, iSSg. Traduit en français, sur la deuxième édition, sous le titre : La fonction potentielle et le potentiel, par F. Folie. Paris; 1870.

(') Briot, Théorie mécanique de la chaleur. Va.Tis; 1869.

(') Otto Holder, Beitrâge zur Potentialt/ieorie, §3 {Inauguraldissertation. Stuttgart; 1882).

(*) Gauss, Allgemeine Lehrsàtze, % 9 (Gauss, Werke, t. V, p. 206).

(*) Clausius, La /onction potentielle et le potentiel, p. 46. Égalité (69).

(«) Otto Holder, Beitràge zur Potentialtheorie, § 4 et 5.

Quant à l'équation de Poisson, il en a été donné d'innombrables démonstrations. Outre celle que nous avons donnée, qui, nous l'avons dit, est due à Poisson, nous mentionnerons celle de Gauss ('), qui repose sur l'expression des dérivées partielles du second ordre que l'on peut déduire de l'égalité (24); celle de Glausius (2), fondée exclusivement sur les théorèmes les pkis élémentaires du Calcul intégral; celle de M. Weingarten (3), qui emploie les propriétés des intégrales de Fourier; enfin celle de M. Kronecker (^).

(') Gauss, Allgemeine Lezrsàtze, § 10 (Gauss, Werke, t. V, p. 208). (') Clausius, Sur la démonstration de l'équation

dX dY dZ , ,,

da; dy dz ' P

{Journal de Liouville, 2" série, t. III, p. 57; i858). — De la fonction potentielle et du potentiel, § 20.

(') Weingarten, Zur Théorie des Potentials ( Crelle's Journal, t.XLIX,p. 867;

(*) Kronecker, Zur Potentialtheorie { Bor char dt' s Journal, t. LXX, p. 246; 1869).

CHAP. VI. — CRITERIA DE LA FONCTION POTENTIELLE. Sy