CHAPITRE YI

CRITERIA DE LA FONCTION POTENTIELLE D'UN VOLUME ELECTRISE. ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES.

§ 1. — Criteria de la fonction potentielle d'un volume électrisé.

Imaginons qu'en un certain volume, limité par une surface fermée S, l'électricité soit répandue avec une densité solide p, finie en tout point ; ce volume ne renferme aucune surface de discontinuité électrisée et la surface S n'est pas, non plus, électrisée. Au dehors de la surface S, il n'existe pas d'électricité.

A l'intérieur de la surface S, la densité solide p est supposée non seulement avoir en tout point une valeur finie, mais encore varier d'une manière continue d'un point à l'autre et admettre en chaque point des dérivées partielles du premier ordre qui sont finies.

Quelles sont alors les propriétés, connues par ce qui précède, dont jouit la fonction potentielle d'une semblable distribution électrique, tant à l'intérieur du volume i qu'enferme la surface S ^fië' 9) ^"^ dans l'espace illimité 2 extérieur à cette surface?

JL

1° Dans l'espace entier, formé par les régions i et 2, la fonction potentielle V(:r, y, z) dont il s'agit est une fonction uniforme,

finie el continue des coordonnées ; en tout point, elle admet, par rapport aux coordonnées, des dérivées partielles du premier ordre qui sont finies.

2" En tout point de l'espace i, intérieur à la surface S, elle admet, par rapport aux coordonnées, des dérivées partielles du second ordre qui sont uniformes, finies et continues. Elle s'offre donc à nous comme une fonction uniforme, finie et continue, ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres, à l'intérieur de l'espace i ; ce qu'on exprime en disant qu'elle est régulière dans l'espace i .

Si l'on désigne par/(^, ;', s) la fonction uniforme, finie et continue ( — 4"!^?)? on aura, en tout point de l'espace i, en vertu de l'équation de Poisson,

(0 AV = /(a7,jK,^).

3° En tout point de l'espace 2, extérieur à la surface S, la fonction V(:r, jK, z) admet, par rapport aux coordonnées, des dérivées partielles du second ordre qui sont uniformes, finies et continues ; en sorte que cette fonction est aussi régulière à l'intérieur de l'espace 2.

En tout point de cet espace, elle satisfait à l'équation aux dérivées partielles de Laplace

(2) • AV = o.

On exprime ordinairement cette double propriété de la fonction V d'être régulière dans l'espace 2 et de satisfaire, en tout point de cet espace, à l'équation de Laplace, en disant qu'elle est harmonique à l'intérieur de l'espace 2.

4° Lorsque le point (.2;, y, z) s'éloigne au delà de toute limite de la surface S dans une direction quelconque, les quantités V,

ôS dy SS

T~' j-5 — tendent vers o; et, si l'on désigne par R la distance du

point i^x^y^z) à un point fixe quelconque O de l'espace i, les

qviantités

ôS dN dy

RV, R2^, R2^, R2^

ox oy dz

ne croissent pas au delà de toute limite.

Ces propriétés caractérisent la fonction potentielle de la distribution électrique considérée. Aucune autre fonction ne peut les

CHAP. VI. — CRITERIA DE LA FONCTION POTENTIELLE. Sg

posséder. Nous aHons montrer, en effet, qu'attribuer la possession simultanée de l'ensemble de ces propriétés à deux fonctions Y(j',y, z), Y'{x^ y,z)^ c'est supposer que ces deux fonctions ont la même valeur en tout point de l'espace ou, en d'autres termes, qu'elles ne forment qu'une fonction.

Désignons par ©(a?, y, z) l'excès de la fonction V'(.r, y, z) sur la fonction V(.r, jK, z-), et examinons les propriétés de cette fonction B(^, y, 5).

1° Comme les deux fonctions V et V, la fonction 0 est uniforme, finie et continue en tous les points de l'espace ; elle tend vers o lorsque le point (^, y^ z) s'éloigne infiniment, dans une direction quelconque, de la surface S. Ses dérivées partielles du premier ordre possèdent les mêmes propriétés.

•1° Comme les deux fonctions V et V, la fonction 8 est régulière en tout point de l'espace i. Les deux fonctions V et V vérifiant l'équation (i) en tous les points de cet espace, la fonction (-3 vérifie, en tous les points de cet espace, l'équation de Laplace

La fonction 0 est donc harmonique en tous les points de l'espace i . 3° Comme les deux fonctions V et V, la fonction 6 est harmonique en tous les points de l'espace 2.

A^ Les produits R6, R":;-) R^-^» R^-r-' ne croissent pas au- ^ ^ dx oy dz ^

delà de toute limite lorsque le point (x, y, z) s'éloigne infiniment

de la surface S.

Soient dS un élément de la surface S; Nj la normale à cet élément vers l'intérieur de l'espace i ; N2 la normale à ce même élément vers l'intérieur de l'espace 2.

La fonction 0 vérifie, à l'intérieur de l'espace i, des conditions telles qu'il est permis de lui appliquer l'égalité (5) du Chapitre III; cette égalité devient, parce que la fonction 0 est harmonique.

Du point fixe O, intérieur à l'espace i, comme centre, avec un rajon vecteur variable R, décrivons une surface convexe S et choisissons le rajon R assez grand pour que la surface S soit, en entier, extérieure à la surface S.

6o LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

La surface S sépare l'espace 2 en deux régions : une région 3 limitée par les surfaces S et S, et une région illimitée 4 extérieure à la surface S.

Soit dïi un élément de la surface S ; soit v la normale à cet élément dirigée vers l'intérieur de l'espace 3.

La fonction 0 jouit, dans l'espace 3, de propriétés telles qu'il est permis de lui appliquer l'équation (5) du Chapitre III; et, comme la fonction 0 est harmonique dans l'espace 3, cette équation devient

L'élément <iS est vu du point o sous un angle diù. On a donc

et

cos(v, n)

\J d^i cos(v, R)

la sommation qui figure au second membre s'étendant à tous les éléments de la sphère de rayon i ayant pour centre le point O. La surface S étant convexe, l'angle cos(v, R) n'est jamais égal à o. La

quantité R*-^- ne croît pas au delà de toute limite avec R; 0 tend

vers o lorsque R croît au delà de toute limite. Si donc on fait croître tous les rayons vecteurs R de la surface S au delà de toute limite, le second membre de l'égalité précédente tend vers o.

Ce résultat entraîne le suivant :

L'intégrale

étendue à l'espace compris entre la surface S et une surface S convexe et extérieure à la surface S tend vers la limite bien déterminée

CHAP. VI. — CRITERIA DE LA FONCTION POTENTIELLE. 6l

lorsque la surface S grandit de telle manière que tous ses points s'écartent indéfiniment de la surface S. C'est le résultat qu'exprime l'égalité

» //x[(iy-("r-œ)>''-<'-s^^-=°-

La quantité 0 et ses dérivées partielles du premier ordre étant continues dans tout l'espace, on a évidemment

en sorte que les égalités (3) et (4), ajoutées membre à membre, donnent

l'intégrale s'étendant à tout l'espace.

11 est aisé de voir que cette égalité (5) ne saurait être satisfaite si l'on n'avait, en tous les points de l'espace, l'égalité

c'est-à-dire

de

de de ^=°' ài = ''-

Imaginons, en effet, qu'en un point M de l'espace la quantité F^ ne soit pas égale à o. Comme cette quantité F^ est une fonction continue des coordonnées, on pourrait toujours, autour du point M, délimiter un domaine A assez petit, pour que la quantité F^ soit différente de o en tout point du domaine A. Soit B l'espace extérieur au domaine A. On aurait

Ç f Ç ¥'^dxdydz= f f Ç Y'^ dx dy dz -\- C Ç Ç Y^dxdydz.

Au second membre, la deuxième intégrale ne pourrait être que nulle ou positive ; la première serait certainement positive; l'intégrale qui figure au premier membre ne pourrait donc être égale à o comme l'exige l'égalité (5).

Ainsi, la fonction 0 est une fonction continue dans tout l'espace, admettant, dans tout l'espace, des dérivées partielles du premier

62 MVRE I. — LES FORCES ELECTROSTATIQUES.

ordre qui, d'après les égalités (6), sont identiquement nulles. La fonction 0 a donc, dans tout l'espace, la même valeur constante ; comme, d'ailleurs, la quantité %{x, y, z) doit tendre vers o lorsque le point [x, y, z) s'éloigne indéfiniment de la surface S, il faut que la quantité 0 soit identiquement nulle, et que les deux fonctions V et V aient identiquement la même valeur en tous les points de l'espace. C'est la proposition même que nous avions énoncée.

Les propriétés que nous avons énumérées comme appartenant à la fonction potentielle d'un volume électrisé sont donc particulières à cette fonction et ne peuvent appartenir à aucune autre fonction. On peut leur donner le nom de criteria de la fonction dont il s'agit. Il suffit d'être assuré qu'une fonction les possède toutes (') pour pouvoir affirmer qu'elle représente la fonction potentielle d'une distribution électrique intérieure à la surface S et ajant en chaque point la densité solide

Cet important théorème est dû à Lejeune-Dirichlet (-), qui en a fait usage dans l'étude du problème de l'attraction exercée par un ellipsoïde homogène.

§ 2. — Fonction potentielle d'un ellipsoïde homogène.

L'étude de l'action exercée par un ellipsoïde homogène sur un point extérieur ou intérieur à cet ellipsoïde a sollicité les efforts de presque tous les grands géomètres qui se sont succédés depuis Newton jusqu'à nos jours C). Newton, Maclaurin, d'Alembert,

(') Au lieu d'énoncer les criteria de la fonction potentielle relatifs à l'infini, nous nous contenterons souvent de dire que la fonction potentielle s'annule à Tinfini, toutes les fois qu'aucune confusion ne sera à craindre.

(') Lejeune-Dirichlet, Sur un moyen général de vérifier l'expression du potentiel relatif à une niasse quelconque, homogène ou hétérogène {C relie' s Journal. Bd. XXXII, p. 80-84 ; 1846).

(2) On trouvera exposée très complètement l'histoire du problème de l'attraction des ellipsoïdes dans C. Paraira : Over de Methoden ter bepaling van de aantrekking eener ellipsoïde op en willekeurlig punt {Academisch prœfschrift. Amsterdam; 1879).

Une histoire plus résumée du même problème sert d'introduction au Mémoire de Chasle? : Mémoire sur l'attraction des ellipsoïdes ; solution synthétique pour le cas général d'un ellipsoïde hétérogène et d'un point extérieur. Paris:

Lagrange, ont amorcé la solution de ce problème. Elle a été donnée par Legendre et par Laplace. Ivorj, Gauss, Poisson, Chasles et bien d'autres l'ont résolu par des méthodes différentes.

La solution de Lejeune-Dirichlet (') diffère de celles dont nous venons d'énumérer les auteurs, en ce qu'elle n'aurait pu servir de méthode d'invention. Lejeune-Dirichlet prend, en effet, la fonction qui, d'après les travaux de ses prédécesseurs, doit représenter la fonction potentielle d'un ellipsoïde homogène, et, par l'emploi des crileria établis au paragraphe précédent, il s'assure que cette fonction est bien, en effet, la fonction potentielle de l'ellipsoïde considéré.

Cette méthode est évidemment moins satisfaisante pour l'esprit que les belles et élégantes méthodes d'invention proposées par différents géomètres, et notamment par Gauss et par Chasles. Mais elle a sur toutes les autres un avantage qui nous la fera préférer, la brièveté.

Soit

l'équation de l'ellipsoïde rapporté à son centre et à ses axes. Envisageons l'équation

La quantité u^ qui figure dans cette équation (8), est, en vertu de cette équation, une fonction algébrique de .r, y^ z.

Il est aisé de voir que cette équation, ramenée à la forme entière, est du troisième degré en z/. Elle donne donc, en général, pour w, trois déterminations.

Supposons que l'on ait les inégalités

Les trois déterminations de u séparent les unes des autres les

(') Lejeune-Dirichlet, Sur un moyen général de vérifier l'expression du potentiel relatif à une masse quelconque, homogène ou hétérogène {Crelle's Journal. Bd. XXXII, p. 8o-84; 1846). — Vorlesungen, etc., rédigées par F. Grube; 2» Partie. Leipzig; 1876.

quatre quantités

Le théorème des substitutions conduit immédiatement à ce résultat; en effet

Pour M = — 00, le premier membre de l'équation (8) a le signe —

» a = Or — Y) » »

» ii = — b^-\- Ti » V -+-

)) M = -i- ce » ))

Considérons la plus grande des trois racines, celle qui est comprise entre — c- et +3o; cette racine est positive si le point [x,y,z) est extérieur à l'ellipsoïde, nulle si le point (^,y, z) est situé à la surface de l'ellipsoïde, et négative si le point {x, y, z) est intérieur à l'ellipsoïde. Il suffit, pour le démontrer, de remarquer que, par la substitution i^ = o, le premier membre de l'équation (8) devient

quantité positive, nulle ou négative, suivant que le point [x^ y., z) est extérieur à l'ellipsoïde, situé à la surface de l'ellipsoïde ou intérieur à l'ellipsoïde.

La somme des trois racines de l'équation (8) a pour valeur

I [(372-1- JK'--i- ^2) («2 + ^2+ C2)].

Cette somme croît au delà de toute limite lorsque le point (^, y, z) s'éloigne indéfiniment, dans une direction quelconque, du centre de l'ellipsoïde. Par conséquent, la racine comprise entre — c^ et -h 00 croît au delà de toute limite lorsqvie le point {x, y, z) s'éloigne indéfiniment de l'ellipsoïde.

Ces préliminaires posés, envisageons l'expression

(9) N{x,y,z)=^T.ç>abc f tT ^^'

CHAt>. VI. — CRITERIA DE LA FONCTION POTENTIELLE. 65

dans laquelle U a pour valeur o si le point (jc,y,z) n'est pas extérieur à l'ellipsoïde, tandis que, si ce point est extérieur à l'ellipsoïde, U désigne la racine positive de l'équation (8). Si le point (x, y, z) est situé à la surface de l'ellipsoïde, ces deux règles conduisent l'une et l'autre à prendre pour U la valeur o.

La quantité p est la densité électrique uniforme à l'intérieur de l'ellipsoïde.

Enfin le radical est pris en valeur absolue.

L'intégrale qui figure dans cette expression (9) a une limite infinie; mais cette intégrale n'est pas illusoire, car, pour les valeurs infinies de )v, la quantité sous le signe / est de l'ordre

de ri

Nous allons montrer que la fonction \(x^ y, z) présente tous les criteria de la fonction potentielle de l'ellipsoïde, et que, par conséquent, elle représente cette fonction potentielle.

1" La limite inférieure de l'intégration, U, représente deux fonctions analytiques différentes de .r, y^ z, selon que le point [x^y^z) est extérieur ou intérieur à l'ellipsoïde^ mais ces deux fonctions analytiques prennent la même valeur o en un point de la surface de l'ellipsoïde; U est donc, dans tout l'espace, une fonction uniforme, finie et continue, de x^ r, z.

D'ailleurs, l'élément sous le signe / est aussi, dans tout l'espace, une fonction uniforme, finie et continue, de x^ y, z\ car aucune des quantités

ne devient égale à o entre les limites de l'intégration.

11 résulte de là que, dans tout l'espace, la fonction V(.r, jk, z) est une fonction uniforme, finie et continue, de x, y, z.

2" Soit R la distance du point [x, y, z) à l'origine des coordonnées; montrons que, lorsque R augmente au delà de toute limite, le produit RV demeure fini.

Nous avons

Rr.__:^ J^ îL 1

, f I a^-r-X b^-^l c2-f-Xj j.

Tzp abc I

Si nous nous reportons à la définition de U pour un point exté- D. — I. 5

66 LIVHE I. — LUS FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

rieur ù l'ellipsoïde, nous voyons que l'on peut poser

v étant une fonction de x, y, z qui demeure finie, positive, et ne tend pas vers o lorsque R croît au delà de toute limite. Faisons alors un changement de variable défini par l'égalité

et nous aurons

1 , R.+^-^ Ri+^-^^ ^^ml^ RV=Trpac>c / - — dt,

Lorsque R croît au delà de toute limite, ^> -^j .^ ne croissent pas au delà de toute limite; v est toujours fini, positif, et ne tend pas vers o; ^:i tt-? t^t tendent vers o; VR demeure donc fini.

3° Calculons la dérivée -r-ax

La formule de la difierenliation sous le signe / , appliquée à l'égalité ('9), donne

= TTP abc

àx ' \j «M-X v/(a2 HXy(62 HX)(c2+X)

v/(a2+X)(62 + X)(c2-hX) Jx = t^)'

Deux cas sont à distinguer :

Si le point [x^y^z) est intérieur à l'ellipsoïde, U a la valeur

constante o, et il en est de même de -r— ; le second terme du facteur entre accolades est égal à o.

Si, au contraire, le point {x,y^ z) est à la surface de l'ellipsoïde ou à l'extérieur de l'ellipsoïde, on a .

^^^^ "^ 6Mnj "^ ^M^ - I - o,

el lo second terme du facteur entre accolades est encore égal à o. La formule précédente se réduit donc, en toutes circonstances, à

dx

— — ~paoc I

— > T- ont des expressions analogues.

<iy az ^ °

De ces expressions il est aisé de conclure, par des raisonnements analogues aux précédents, que t~' 3-' t:; sont des tonctions de x, y, :; uniformes, finies et continues en tous les points de l'espace, et que les produits R'^-;' R- c— > R" -r: demeurent finis lorsque R croît au delà de toute limite.

4" La formule de différentiation sous le signe / , appliquée à l'égalité (10), nous donne

/ d'^\ , r ^ + =- 1 dl