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dl y/(.a2^X)(62-f.X)(c2-^À)'

68 LIVRE 1. — LES FOUCES ÉLECTROSTATIQUES.

en sorte que l'équation précédente devient AV -XTzpabc / .77 d\] y d\} z «UN

Deux cas sont à distinguer :

Si le point (^, r, z) est intérieur à l'ellipsoïde, on a

dV dV dU

ox ày dz

D'ailleurs, le radical étant, par hypothèse, pris en valeur absolue, l'égalité (12) devient

Si, au contraire, le point (x^y^z) est extérieur à l'ellipsoïde, on a

et, par conséquent,

^I^Tû ~ L(a2-+-U)2 "*" {bi~\jyi "*" (^i~rûy2j 5^ - "'

iy r T^ y"- ^ s' 1 '^u

62^^rÛ ~ [(a2-r-U)2 ^ (62+U)2 ^ (c2-+-U)2j ^^ " ^' ~Uy2 ^ (è2H-Ul2 "^ (C2+U)2j ds

25 r .r2 Jk2 ^2 -1 ^U

Prenons ces trois équations; multiplions les deux membres de la première par —. — i-, ; les deux membres de la deuxième par

■■„ ^ • les deux membres de la troisième par „ ^ ..; et ajoutons 62 -h U 1 c2-hU •'

membre à membre les résultats obtenus. Nous trouvons Comme, pour aucun point extérieur à l'ellipsoïde,

XÏ yi z^

ne peut être égal à o, cette égalité devient

Ce résultat, reporté dans l'égalité (12), donne, pour tout point extérieur à l'ellipsoïde,

AV r^ o.

Ainsi la fonction Y[x, y, z) offre tous les criteria de la fonction potentielle de l'ellipsoïde représenté par l'égalité ('^), en supposant que Félectricité soit répandue uniformément à l'intérieur de cet ellipsoïde avec la densité solide p. La fonction V(^,y, z) représente donc bien cette fonction potentielle.

Posons

6 = TK

:abc I — — = abc I —

X)(6â-HX)(c2-r-X)

M = Tiabc I Jv

Les quatre quantités 0, L, M, N sont des constantes pour les points intérieurs à l'ellipsoïde ou situés à sa surface, et des fonctions de X, y, z pour les points extérieurs à l'ellipsoïde. La formule (9) donnera alors

(i4) y{x,y,z) = p(e — La72— Mj-^- N^2).

L'égalité (10^ nous donnera la première des égalités

-— = — 2aLx.

dx ^

, -— = — ip^z.

qui nous seront utiles plus tard. Une charge électrique égale à l'unité étant fixée à un point matériel placé en (x, y, z), ce point

subira, de la part de l'ellipsoïde, une action dont les composantes auront pour valeur

/ X = iz^hx,

(16) I Y =^ it^My,

( Z = 2£pN^.

Ces formules achèvent la solution, donnée par Lejeune-Dirichlet, du problème de l'attraction d'un ellipsoïde homogène.

CIIVP. VII. — LES SURFACES ELECTRISEES.