RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MÉCANIQUE

§ 1. — Enoncé du principe des vitesses virtuelles.

Nous allons, dans ce Chapitre, rappeler brièvement quelquesunes des notions de Mécanique dont nous aurons à faire un fré- (juent visage dans la suite de ces Leçons.

Nous commencerons par retracer l'énoncé du principe des vitesses virtuelles, qui, ainsi que l'a montré Lagrange, domine la Statique tout entière.

Considérons un système matériel et, pour fixer les idées, supposons-le formé d'un nombre fini de points matériels séparés les uns des autres par des distances finies. Soient M, (xi, j,, ^,), Ms (^2,^25 -S2), • • -, M„(.r«,jK«, Zn) ces points.

Ce système est soumis à certaines liaisons; ces liaisons sont de deux sortes.

Les unes s'expriment par une égalité ou plusieurs égalités entre les coordonnées d'un ou de plusieurs points du système. Telle est, par exemple, pour un point, la condition de demeurer sur une surface ou sur une courbe. Nous les nommerons liaisons bilatérales.

Les autres ne sont point susceptibles de s'exprimer par une ou plusieurs égalités. Supposons, par exemple, que le point M, (.T), j^t, z-i) soit assujetti à demeurer, soit en dehors d'un ceitain corps, soit à sa surface, sans pouvoir pénétrer à son intérieur. Soit

l'équation de la surface de ce corps; supposons qu'à l'intérieur de ce corps on ait

f{x,y, z)<o et, à l'extérieur,

lOO LIVRE I. — LES FORCES ELECTROSTATIQUES.

La liaison imposée au point Mt s'exprime alors de la manière suivante :

/(^i, Ji, 5i)|o.

Une telle liaison, dans ce qui va suivre, sera nommée liaison unilatérale.

Supposons qu'entre les points du système il existe p liaisons bilatérales

/l(^l, Jl, -1, -^2, ...) = 0,

/ . 1 Ai^i,ri, -1, a-2, ...) = o,

et q liaisons unilatérales

?2(^1, JKl, -Zl, ^2, ••• ) = 0,

?l(j^UyU -21, -2^2, ...)=0.

Supposons que les quantités

^i, 7u -Si,

^2, JK2, ^îi

vérifient les conditions (i) et (2); supposons que l'on choisisse les quantités infiniment petites

8a7i, oji, 0^1,

8a72, Sj2, 2^2,

S^«, Sj/j, S^/i, de telle façon que les quantités

a^ï+oj^a, J2+0J21 -32-1-3^2,

Xn + Sa^«, 7/, -H S/«, ^« + 8^rt

CHAP. VIH. — UVPPEL DK QUELQUES PRINCIPES DE MECANIQUE. lOI

vérifient aussi les conditions (i) et (2) :

ùxi, 07,, 0^1,

constituent les composantes du mouvement des divers points dans un déplacement virtuel du système ; ou, plus brièvement, constituent un déplacement virtuel du système.

Un déplacement virtuel o.r,, SjKi, . . • sera renversable si — ôJCj, — oj'i, . . . est aussi un déplacement virtuel du système.

Si toutes les liaisons auxquelles le système est assujetti sont des liaisons bilatérales, tous les déplacements virtuels du système sont des déplacements renversables. En effet, dans le cas où le système n'est soumis qu'à des liaisons bilatérales, pour que 8x,, ôj-,, S2<; 3^2, . . . constituent un déplacement virtuel, il est nécessaire et suffisant que ces quantités vérifient les relations

àfx . ^/i .

àfx .

àZn

àfp ^ àf„ ^

àfp .

. . 4- j- àZa = 0,

et ces relations sont évidemment vérifiées aussi par le système de quantités

— 0J7,, — oji, —ozi; —0X.2,

Soient Xi, Y,, Z, les composantes de la force explicitement donnée qui agit sur le point M, ; X2, Y2, Z12 les composantes de la force explicitement donnée qui agit sur le point M2; .... Par définition, dans tout déplacement virtuel ô^Tj, ôj/"(, . . ., la première force effectue un travail virtuel

Xi Ixx -\- Yi 071 -+- Zi Szi ;

la deuxième force effectue un travail virtuel

X2 tX^ -4- Y2 072 -H Z2 0^2 î

etc, ....

Le Principe des travaux virtuels, nommé souvent aussi

102 IJVRK I. — LKS FORCES ELECTROSTATIQUES.

Principe des vitesses virtuelles, peut alors s'énoncer de la manière suivante :

Pour quhin système soit en équilibre , il est nécessaire et suffisant que, dans tout déplacement virtuel du système, la somme des travaux virtuels des forces données appliquées à ses divers points soit nulle ou négative.

En d'autres termes, les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre d'un système matériel s'obtiennent en écrivant que, pour tous les systèmes de valeurs de ô:^;^, oj^,, os,, ... qui constituent un déplacement virtuel, on doit avoir

(3) Xi QXi -+-Yi Ô/i H- Zj 0^1 -f- \2 0^2-1- • - . -H Z,j OZii 1 o.

Si tous les déplacements virtuels dont le système est susceptible sont renversables, ce principe s'exprime simplement par l'égalité

(4) Xi oa^-i-f-Yi o/i -I- Zi03i-H X2 0X2+ . . . -t- Z„ oz,i= o.

C'est sous cette dernière forme que le principe des travaux, virtuels a été, pour la première fois, énoncé par Jacques Bernoulli (') ; c'est aussi sous cette forme que Lagrange, dans \^ Mécanique analytique, en a fait le fondement de la Statique tout entière. La forme plus complète exprimée par l'inégalité (3) est due à Gauss (^); elle a été exposée avec grand soin par Clausius (^) et par M. Cari Neumann(^'). Sauf le Traité de Sturm, aucun Traité de Mécanique français ne mentionne cette forme complète du principe des travaux virtuels.

(') Lettre citée dans Varignon, Nouvelle Mécanique.

{') Gauss, Ueber ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik {Crelle's Journal, t. 4 ; 1829. Gauss, Werke, Bd. V, p. 27, en note). — Principia generalia theorice figurée fluidoruni in statu œquilibrii (Nouveaux Mémoires de Goettingue, vol. VII; j83o. Gauss, Werke, Bd. V, p. 35). — Lettre de Gauss à Mœbius citée par M. Cari Neumann.

(') Clausius, De la fonction potentielle et du potentiel, trad. Folie; Paris,

(") C. Neumann, Ueber das Princip der virtuellen oder facultativen Verriickungen.

CHVP. Vin. — RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MÉCANIQUE. Io3

§ 2. — Énoncé du principe de d'Alembert. Formule fondamentale de la Dynamique.

Le principe des vitesses virtuelles, qui sert de fondement à toute la Statique, peut aussi servir à établir tous les théorèmes de la Dynamique, moyennant une modification qui se déduit du Principe de crAlembert.

Considérons un système formé de n points en mouvement, M,, Mo, . . ., M„. A un certain instant t, les coordonnées de ces points sont

^i, yi, ^\, pour Ml, ^2, 72, -2, pour Ma,

^n-, JKrt, -«, pour M„.

Ce système est soumis à certaines liaisons. Ces liaisons peuvent être bilatérales, comme il arrive si un point est assujetti à se mouvoir à la surface d'un certain corps, ou unilatérales, comme il arrive si un point est assujetti seulement à ne point pénétrer à l'intérieur d'un certain corps. Nous laisserons de côté le cas des liaisons unilatérales, dont l'étude se fait dans la théorie des percussions, et nous supposerons que le système soit exclusivement assujetti à des liaisons bilatérales, exprimables à chaque instant par des égalités entre les coordonnées des divers points du système à cet instant.

Deux cas peuvent se présenter pour chacune de ces égalités : ou bien la forme de la relation qui lie les coordonnées des divers points du système et exprime une liaison bilatérale demeure la même à tout instant ; c'est ce qui arrive, par exemple, si un point est assujetti à demeurer sur une surface qui demeure fixe pendant le mouvement du système ; ou bien la forme de cette égalité varie d'un moment à l'autre : c'est ce qui arrive, par exemple, si vin point est assujetti à demeurer sur une surface qui se meut en même temps que le système.

Dans le premier cas, la liaison considérée peut s'exprimer, pour toute la durée du mouvement, par une relation entre les seules coordonnées des divers points du système

Dans le second cas, la liaison considéi^ée peut s'exprimer, pour toute la durée du mouvement, par une relation entre les coordonnées des divers points du système et le temps :

Les équations de liaison peuvent donc contenir explicitement le temps.

Considérons un système formé de n points matériels M, , M2, . . ., Mrt dont les coordonnées à l'instant t sont a:) , jVi 5 s, ; ^2? • • • , ^w- Ce système est soumis à p liaisons bilatérales exprimées par des équations qui peuvent dépendre explicitement du temps

[ /l(«"l,JKl, Zi,X2, ..., t) = o,

l fp(^i,yu ^1,^2, . .., o = o-

Donnons à t, dans ces équations, une certaine valeur constante to, et posons

Fl(^\,yU -1, 372, ... , Zn) = /iCa^i, JKl, ^1, T.2,..., Zn, to), F2(^l,ri>-lJ^2,-- .,Zn) = Ai^U 7l,^U ^2,- • -,2,1, to),

F/^OljJKl, -1,3^2, ••■,Zn) —fp{Xi,yi,Zi,X2, ..., S„, ^o).

Soient m^ , ma, . . . , mn les masses des n points M, , M,, . . ., M^ ; soient X) , Y, , Z, les composantes de la force explicitement donnée

qui, à l'instant tç,, agit sur le point M, ; soient ^^ , ^^, ^

les composantes, au même instant, de l'accélération de ce point ; adoptons des notations analogues pour les points M^, .. ., M«, et nous pourrons énoncer le principe de d'Alembert de la manière suivante :

Quel que soit, dans la durée du mouvement, l'instant to que Von considère, si Von prenait un système formé des n points M,, M2, ..., M„, placés sans vitesse initiale dans les positions qu'ils occupent à V instant to', si Von soumettait le point M, à une force dont les composantes seraient

^^-'"'^rf^' ^'-'"•-^' ^»-'"'-J^^

CH.VP. VlII. — RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MECANIQUE. lOf)

le point Mo à une force dont les composantes seraient

etc., . . .; si enfin on assujettissait le système ainsi constitué aux liaisons

'^ l'i^iiyij ^1) ■^2) • • • ) -«) — o, /e système ainsi constitué serait en équilibre.

Tel est le principe de d'Alembert qui ramène ainsi tout problème de Dynamique à un problème de Statique.

Ce principe conduit, avec l'aide du principe des travaux virtuels, à une formule dont on peut déduire la mise en équation de tout problème de Dynamique.

Voici comment on peut obtenir cette formule.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre du système fictif que nous venons de considérer sont exprimées par le principe des vitesses virtuelles ; si donc ôX|, ôy, , 05| ; ùX2, •• • désigne vm des mouvements virtuels compatibles avec les liaisons ('j) qui sont toutes bilatérales, on doit avoir

dt^

Cette formule (8) résume, comme nous l'avons dit, la mise en équation de tout problème de Dynamique. On lui donne le nom de formule fondamentale de la Dynamique. Elle est due à Lagrange, qui en a fait le fondement de toute l'étude de la Dynamique dans sa Mécanique analytique.

§ 3. — Remarques diverses sur les liaisons.

L'égalité (8) doit avoir lieu pour tous les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons (7) ; en d'autres termes, elle doit avoir lieu pour tout système de valeurs de 0x1, Sj^j, 3s,, . .., qui

lo6 I.IVRIÎ 1. - LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

vérifie les égalités

()F, . c)Fi , dF, , f)Fi ,

àxt 4ri àzi dx2

dF^. ^F, . dF^. dF^^

(9) \ Oa-i àfv ^-Si dx^

f OFp . dFp , (^F/. > , (^F/> >

v (^37, Oyi -^ dzi dx2

Les (/> H- 1) équations linéaires et homogènes (8) et (9) doivent être vérifiées par tout système de valeurs de oxt, oj^,, oz,, . . . qui vérifient les équations (9). L'équation (8) doit donc être une conséquence des équations (9). La théorie des équations linéaires nous apprend qu'il faut et il suffit pour cela que l'on puisse trouver p facteurs 1,, \o,'..., "Xp, indépendants de Sjc,, ùyt, oz, ; 8^2? • • -1 tels qu'en multipliant par X, le premier membre de la première égalité (9), par ^.o le premier membre de la seconde. . . . , par "kp le premier membre de la dernière, et en ajoutant les résultats obtenus au premier membre de l'égalilé (8), on obtienne une somme identiquement nulle.

Il doit donc exister/? facteurs

dépendant seulement de .r, , j'i , ^i ; jco, • • -, ^n, t, tels que l'on ait, quels que soient O^i, Zy^, ùZi ; ^x^, • • -, oz,i, l'égalité

v" r /v -^ ^F, . dFj . dF„ d-'xq\ .

, ()Fi . ÙF. . ÙF„ d'-yq\.

dy,, dy,, dyn df^

/„ , JFi . ÔF^ . dFp d'-z,,\^ -]

ce qui exige (jue l'on ait les 3/i égalités

, t)Fi . c)F2 , cJF,, d-'zi

Zi-+- A, —- -h A2 T- -^.••+Xp— -^ = /«i— ,:r>

CHAP. VlII. — RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MÉCANIQUE. I07

Ces égalités nous montrent que le point M,, par exemple, se meut comme si, sans être assujetti à aucune liaison, il était soumis non seulement à la force explicitement donnée dont les composantes sontXi, Y|, Z,, mais encore à une force dont les composantes seraient

+ Aj ,

dF,

■•^^''' dz,

Cette force fictive porte le nom Aç. force de liaison appliquée au point M|. Les/? fonctions \^, Xo, ...,)v^des (3 /i -|- i) variables ^r,, >^i, ^1, x-i^ ..., Zni t portent le nom de multiplicateurs de Lagrange.

Faisons encore, au sujet des liaisons auxquelles un système peut être assujetti, une remarque fondamentale.

Tout déplacement virtuel 0;ri, Sj^o ^^«j • ••? '^^n du système est assujetti aux liaisons (6). Il doit donc vérifier les égalités (9), qui deviennent, en vertu de la définition des fonctions F,, Fo, . . -, F^ donnée par les égalités (6),

-f- OJ?i -H -f^ OKi 4- -/- O.Si -I- . . . -tàXy, C*yi ^^1

(10) { dxi dfi •' Ozi

Of,

ttZn

àZa

Oi„

OZa

df„

àz,.

àJP^ 4/1 ^-^1

t ayant dans/, , f-^. . . . , /"p la valeur ^q ; on obtient tous les déplacements virtuels à l'instant <o eu prenant tous les systèmes do valeurs de oj?,, q/i, 03|, ..., û5,j qui vérifient ces égalités (10).

Pendant le temps qui s'écoule entre les instants ^0 et ^0 + dt^ le système en mouvement éprouve un déplacement réel, dont les composantes sont

dxi, uyii dzi, • • ' 1 dZii-

Ce déplacement est assujetti aux liaisons exprimées par les égalités

108 LIVRK I. — LES FOBCES ÉLECTROSTATIQUES.

(5), qui renferment la variable t. On a donc

dxi Cji ^-^1 '^^n • àt '

/Ada-,-^!^dr,^'Ad.,-^...-^p.d.,-^^{Ut=o, (il) { àxt dji -^ dzi dzn dt

fRdx,-^Ady,^Adz, + ....+ 'ALdz„+Adt=o.

dxi dfi -^ dzi dz,i dt

La comparaison des égalités (lo) et (i i) conduit alors avi résultat suivant.

Pour que le déplacement réel du système à l'instant t^ coïncide avec un des déplacements virtuels du système au même instant, il faut et il suffît que les égalités

soient vérifiées à l'instant ^o- Par conséquent, pour qu'à tout instant le déplacement réel du système coïncide avec un des déplacements virtuels du système au même instant, il faut et il suffit que les équations de liaison ne dépendent pas explicitement du temps.

§ 4. — Théorème des forces vives.

C'est à ce cas particulier où les liaisons ne dépendent pas du temps que nous allons maintenant nous limiter. Nous considérerons un système formé de n points et assujetti à /> liaisons bilatérales dont aucune ne dépend explicitement du temps; dans ce cas, le déplacement réel dx\ , dyi , dzi , . . . , dzn que le système éprouve pendant le temps dt est l'un des déplacements virtuels ôj?,, oy^^ 05|, . . . , ùZii. L'égalité (8) doit donc être vérifiée en particulier si l'on remplace 8^, , Sj^i , ô5, , • . . , oz,i par dx\ , dy^ , dz^ , . . . , dzn ; elle devient alors

+ ( Zy-m^ -^^dz^\^ =o.