CII.VP. VIII, — RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MECANIQUE. I

Mais on a

dX(i =

dyq^

dZf, =

en sorte que l'égalité précédente devient

V ( X,y dXq + Yy djq + Zq dZq )

dxq d'^Xq ^ dyrj d^y^ ^ dzq d^Zq\

''Xdt dt"- dt dV^ dt df^

D'ailleurs

' dXq d^Xq dyq d'^yq dZq d^Zq

dt dr- dt dt^ dt df^

En outre, si l'on désigne par Vq la vitesse du mouvement du point q à l'instant ?, on a

' dz.

dt ] ' \ dt

On a donc, finalement,

(.3) ^{\qdXq-^Yqdyq+ZqdZq) ^ U ^ "'^ 1 ^^-

Le premier membre est, par définition, le travail efTectué pendant le temps dt par les forces qui agissent sur les divers points du système.

La quantité ^ ^ ''■ est, par définition, \di force vive du système

à l'instant t ; elle ne diffère que par la présence du facteur | de la quantité à laquelle Leibnitz donnait le même nom. D'après ces définitions, l'égalité (i3) peut s'énoncer ainsi :

Le travail effectué pendant un temps infiniment court par

no LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

toutes les jorces explicitement données qui agissent sur un système est égal à la variation que subit pendant le même temps la force vii'e du système.

Celle proposilion suppose, nous l'avons vu, le système uniquement soumis à des liaisons bilatérales dont aucune ne dépend explicitement du temps. On donne à cette proposition le nom de; Principe des forces vives.

§ 5. — Du potentiel.

L'étude de l'égalité (i3) va nous conduire à une nouvelle notion qui joue, en Mécanique, un rôle fondamental, la notion de Potentiel.

Pour chacun des éléments de temps dt compris entre les instants T et T', écrivons les égalités analogues à l'égalité (i 3) et ajoutons-les membre à membre.

Le second membre du résultat a une valeur facile à trouver. Si Vç désigne la vitesse du point M^ à l'instant T et i^„ la vitesse du même point à Tinstant T', ce second membre aura pour valeur

On voit que, pour connaître ce second membre, il suffit de connaître les vitesses dont sont animés les différents points aux deux instants extrêmes que l'on considère, sans avoir besoin de savoir par quels états a passé le système entre ces deux instants.

Il n'en est pas de même du premier membre.

Dans le cas le plus général, X^, Y^, Z^ sont des fonctions de

^i, yu ^1) — -«,

dx-^ dyt dz-i dz,i

Idt' 'dt' ~dt' '"' ~dt et de t.

Si l'on connaît le mouvement que chacun des points du système a subi entre les instants T et T', on peut évaluer les coordonnées des divers points et les composantes de leur vitesse en fonction de la seule variable t. Le premier membre de l'équation (i3) devient alors une quantité de la forme

. ^{t)dt,

CHAP. Vin. — RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MECANIQUE. III

et en ajoutant membre à membre toutes les équations, telles que l'équation (i3), on obtient une égalité dont le premier membre a pour valeur

«/rr

On voit que le calcul de ce premier membre suppose, en général, la connaissance complète du mouvement pris par le système entre les instants T et T'.

II est cependant un cas où il n'en est point ainsi; ce cas, particulier en apparence, est en réalité celui que l'on rencontre le plus généralement dans les applications.

Commençons par supposer que X^, \^, Z^ dépendent seulement des coordonnées :r,,J^'i, ^i,..., z-u des divers points du

, . 1 r/j"i dvi dzi dz,i

système et point de —7-, -ij- > —f- ? • • • ? -y- , t. •^ ^ dt dt dt dt

Le sjstèn>e est soumis aux/? liaisons ne dépendant point explicitement du temps

/i (-^1, Xi, -Si, • • -, -«) = o, .h C-^i, yn ^1 z,i) = o,

fpi^uji, -i> •••> -«)

Ces yo relations permettent d'exprimer les 3n coordonnées .r,, ji, ^,, ...^z-,i en fonction de k = Sn — p variables indépendantes convenablement choisies a,, a2, ..., y./,. En remplaçant les coordonnées par leurs expressions en fonction de ces variables, ou transformera la quantité

\ ( X,/ da^q -+- Yq dyq -\- Z^ dz,, )

en

Pi rfa, -f- Pa d%. ^- . . . P/, d^,,.

et l'équation (i 3) deviendra

(i4) P,^/a,-i-P2^a,+ ... + PA../:^/,= ^( 2 "//''''•

Chacune des quantités P,, Po, .., Pa est une fonction des variables a,, a2, . . ., a/i-

lia LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

La quantité

Pj doii-h P^doiz-T- . . . -r- Vi^doL/c

n'est pas, en général, la différenlielle totale d'une fonction uniforme des variables indépendantes a,, a^, . . ., a^. Mais 1 se trouve que cette condition exceptionnelle est réalisée dans la plupart des applications; en d'autres termes, dans la plupart des cas qui intéressent le physicien, il existe une fonction uniforme de a,, ao, ..., ayt

U(ai, a2, ..., a/,) telle que l'on ait

Pifi^ai-i- Parfa,-!- . . . -t- P^-rfa/,. = — r7U(ai, «2) • • -, ^k)-

Dans ce cas, l'équation (i4) devient simplement

^U(ai, «2, ..., ■Xk)

Si l'on désigne par a,, a-x-, •••,«* les valeurs de a,, a,, ..., a^ à l'instant T, et par a',, a'^, . . ., a\ les valeurs des mêmes variables à l'instant T', en ajoutant membre à membre les équations, analogues à la précédente, que l'on peut écrire pour tous les instants dt compris entre T et T\ on trouvera

Ainsi, dans ce cas, l'équation des forces vives s'intègre lorsque l'on connaît les positions initiales et finales et les vitesses initiales et finales des divers points du système, sans qu'il soit nécessaire de connaître la suite des états par lesquels le système a passé entre les deux instants que l'on considère.

La quantité

est une combinaison homogène du second degré de

da\ da\ da).

'dT^ ~dt ' ' ■ ■ ' ~df '

CUAP. VIII. — RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MECANIQUE. Il3

L'équalion (i5) est donc une équation différentielle du premier ordre entre les k variables a, , a2, . . . , a/t, dont les valeurs à chaque instant déterminent la position du système. L'équation des forces x'ives fournit donc, dans le cas qui nous occupe, une intégrale première des équations du mouvement du système.

La fonction U(a,, ao, ..., ^k) est ce que nous nommerons le potentiel des forces X|, Y,, Z,, .... Ce nom est dû à Gauss. Lagrange, qui a le premier insisté sur l'importance de cette fonction, dans sa Mécanique analytique, ne lui a point donné ce nom particulier. Hamilton et Jacobi ont donné à la fonction ( — U) le nom de fonction des forces; W. Thomson et Rankine ont nommé la fonction U V énergie potentielle et Clausius Vergiel.

Si la quantité

% ( Xr/ dx,, 4- Y^ dfq -+- ZqdZc, ) 7=1

est, quels que soient dxq, dyq, dzq, la différentielle totale d'une fonction uniforme des quantités Xq^ yq^ Zq, la quantité

Pi dxi -{- Po d(x.2 + ...-+- P/cdxi-

sera a fortiori la différentielle totale d'une fonction uniforme de a,, ao, ..., a/(. On dit alors que le système admet de lui-même un potentiel.

Mais il peut arriver que la quantité

Pi dxi -+- Po rfao -+- . . . -i- Pa <^a/,.

soit la différentielle totale d'une fonction uniforme de y.^^ :>.<,,.. ., aA, sans que la quantité

soit la différentielle totale d'une fonction uniforme des quantités .rq,yq^ Zq laissécs indépendantes. On dit alors que le système admet un potentiel en vertu des liaisons qui lui sont imposées. Dans le cas où les forces agissantes admettent un potentiel soit d'elles-mêmes, soit en vertu des liaisons imposées au système, le D. — I. 8

Il4 LIVRE I. — LES FORCES ELECTROSTATIQUE?.

principe des vitesses virtuelles peut être mis sous une forme nouvelle.

Dans ce cas, en effet, on a

V {X^ox,j->r Y, 07,/ -H Z^oz^) = Pioai + P2 3a2+ . .. + P/fôa/,-, '/ = > 5a,, ôa2, ..., ocL/f n'étant liés par aucune relation, et, de plus, en désignant par U le potentiel

en sorte que le principe des vitesses virtuelles peut s'énoncer ainsi :

Pour qu'un système dont les forces agissantes admettent un potentiel soit en équilibre dans un état donné, il faut et il suffit que, dans cet état, on ait

—-- oai -H -r — oag + . . . + --- oa/t- = o, r>ai oo(.=i «a/,.

quels que soient 8a,, oao, .. ., oa^; en d'autres termes, il faut et i suffît que l'on ait

On voit donc que, pour rechercher les états d'équilibre d'un système qui admet un potentiel, on est amené à écrire les mêmes égalités que si l'on voulait chercher les maxima et les minima du potentiel.

§ 6. — Critérium de la stabilité de l'équilibre.

Cette remarque se trouve complétée par le théorème suivant :

Si, pour an état donné du système, le potentiel est minimum, cet état est un état d^ équilibre stable.

Commençons par définir exactement ce qu'on doit entendre par ce dernier mot.

Nous pouvons toujours supposer que les paramètres a,, ao, . . ., T-k soient égaux à O pour l'état du système que nous considérons; car, s'ils étaient égaux respectivement à .A.,, al)o, . . ., A>kt il suffirait

CHAP. VIII. — RAPPEL DE QUELQUES PRINCIPES DE MÉCANIQUE. Il5

de prendre pour nouveaux paramètres propres à définir l'état du système les paramètres

pour que la condition dont il s'agit se trouvât vérifiée. Supposons donc qu'un système soit en équilibre pour.

Supposons, en outre, que les quantités Xf, y^, ^1, . • -, 5« s'expriment par des fonctions continues de a,, a^, ..., a^. Nous dirons que la position d'équilibre du système est stable si elle réalise les conditions suivantes :

Soient A,, Ao, ..., A/t» f^ quantités positives quelconques. On peut toujours trouver des quantités positives a,, a^, ..., «;t, . . ., U(j, . . . assez petites pour que l'on ait

|a,(01^Ai, \cc,{t)\<X., ..., |a^(01^AA.,

à tout instant t postérieur à <(,, si l'on a, à l'instant t^,

|ai(^o)l<«i, |a2(«o)|<«2, .•■, la/l(^o) !<«A-, I «7(^0) I < "7

Cette définition précise étant posée, arrivons à la démonstralion du théorème que nous avons énoncé.

Nous remarquerons, en premier lieu, que, le potentiel étant déterminé seulement à une constante arbitraire près, nous pouvons choisir cette constante arbitraire de manière que l'on ait

ou, en d'autres termes, que, pour la position d'équilibre considérée, le potentiel soit à la fois minimum et nul. Dans ce cas, pour des valeurs assez voisines de O de a,, a^, . .., a^, U sera évidemment positif et aussi voisin de O que l'on voudra.

En second lieu, nous remarquerons qu'au lieu de s'assurer que a,, ao, . • ., a/t sont, à tout instant, inférieurs en valeur absolue à certaines quantités A,, Ao, . . ., A/^, il suffit de s'assurer que x^, a2, ...,a/c sont, à tout instant, inférieurs en valeur absolue à d'autres quantités plus petites. Nous pourrons alors choisir ces nouvelles quantités A), Ao, ..., A/^ de telle manière que, pour

1 i6 LIVRE I. — LES FORCES ÉLECTROSTATIQUES.

toutes les valeurs de a,, ao, . . ., a/t inférieures ou égales en valeur absolue à A, , Ag, . . . , Ay^, on ait

U(ai, «2, ..., V{)>o,

sauf pour le cas particulier

Cela posé, je dis que l'on peut donner aux quantités «i, a>,. . ., ak, ..-, iiq^ ... des valeurs assez petites pour qu'aucune des valuables a,, aa, .. ., o(yt ne puisse, à aucun instant t^ atteindre sa limite A,, Ao, . . ., A;;^.

Supposons, en effet, qu'à un certain instant f, une ou plusieurs des variables a,, a2, ..., a^ atteignent leur limite. A ce moment, U aura une valeur positive qui ne peut être inférieure à une certaine limite; on pourra écrire

U[a,(^„), «,(io), ...,«/.(fo)]-4- ^"Hull!^

Le second membre sera une quantité positive qui ne peut être inférieure à une certaine limite. Au contraire, on peut choisir a,, «2, " •■, <^ki • • M Uq^ . . . assez petits pour que le premier membre soit plus petit qu'une quantité positive quelconque donnée d'avance, cas auquel l'égalité précédente deviendra absurde.

On voit donc bien que l'on peut imposer aux quantités a,, «25 ' • 1 cik^ • • •■) Uq^ . . . des valeurs si petites qu'aucune des quantités aj, a2, .. ., a;t ne puisse à aucun moment atteindre sa limite ; comme nous l'avons annoncé, l'équilibre est stable.

Cette importante proposition est due à Lagraiige ('); la belle et rigoureuse démonstration que l'on vient de lire est de Lejeune- Dirichlet (2),

(') Lagrange, Mécanique analytique, P" Partie, Section III. ( = ) Lejeune-Diriciilet, Ueber die Stabilitàt des Gleichgewichts {C relie' s Journal, l. XXXII, p. 85; 1846).