X.OX -hYùv -hZoz -^X'^x'-i- Y'8v'-i- Z'os'= t ~{- or

De cette égalité, on déduit immédiatement la conséquence suivante : lorsqu'un certain nombre de points électrisés sont déplacés les uns par rapport aux autres, en conservant chacun une charge électrique invariable, le travail effectué par les forces qui agissent entre ces divers points, d'après la loi de Coulomb, est égal, au signe près, à la variation de la quantité

Le signe 2, représente la somme de toutes les combinaisons,

telles que ^^ que l'on peut faire dans le système, chacune de ces

combinaisons étant prise une et une seule fois.

La quantité W représente donc, d'après les définitions posées au Chapitre précédent, le potentiel des forces électriques ; nous donnerons à cette quantité le nom d.ç. potentiel électrostatique ; on lui donne souvent, dans les Traités, le nom diénergie électrique que nous n'emploierons pas.

Cette quantité est susceptible d'une expression remarquable.

Supposons que l'on multiplie successivement la charge q par

toutes les quantités — fournies par les autres points électrisés du

système, et que l'on ajoute tous les produits obtenus, de façon à former l'expression

Tt

dans laquelle le signe \ indique une sommation qui s'étend à

toutes les charges du système autres que la charge q] puis, qu'on répète la même opération sur toutes les charges du système et que l'on ajoute ensemble tous les résultats obtenus, de manière à former l'expression

CIIAP. IX. -- DU POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE. II9

le premier des deux signes N^ s'élendant à toutes les charges du

système; il est évident que, dans une semblable addition, nous

aurons fait figurer deux fois chacune des expressions distinctes

Qn' >

-^ ^ et que, par conséquent, nous aurons

le signe 2, ayant au second membre le même sens que dans l'égalité (1).

Mais, d'autre part, si V désigne la valeur de la fonction potentielle au point M où se trouve la charge q, nous aurons

(3) Ilf—V.

Des égalités (1), (2), (3) résulte cette nouvelle égalité fondamentale

(4) ^=V^qN.

Jusqu'ici, nous avons, pour étudier le potentiel électrostatique, supposé l'électricité concentrée en des points isolés, mais nous pouvons tout aussi bien la supposer répandue en des volumes ou sur des surfaces. Dans ce cas, si les diverses parties du système subissent des déplacements durant lesquels tous les éléments des volumes éleclrisés et tous les éléments des surfaces électrisées conservent des charges électriques invariables , le travail effectué par les forces électrostatiques est, au signe près, la imriation d^ un potentiel W dont l'expression s'obtient de la manière suivante :

On forme, pour chacune des surfaces électrisées, l'intégrale

J QVaJS,

(7 étant la densité superficielle en un point de l'élément â?S et V la valeur de la fonction potentielle au même point.

On forme, pour chacun des volumes électrisés, l'intégrale

l j 1 j ^?dxdydz,

p étant la densité électrique solide en un point de l'élément dxdy dz et V la fonction potentielle au même point.

Enfin on ajoute entre elles toutes les intégrales obtenues.

On a ainsi

^=\\^^'^'d^+^Jjj^9dxdyd^,

Cette expression est susceptible de transformations très importantes que nous allons indiquer.

On sait que l'on a

et

L'égalité (5) peut donc s'écrire

Cette égalité (6) montre que W est déterminé lorsqu'on connaît la valeur de la fonction potentielle V en tous les points de V espace.

Le théorème de Green va nous permettre de donner une nouvelle forme à l'égalité (6).

Pour ne point compliquer les calculs sans avantage sérieux pour la généralité des démonstrations, nous supposerons que le système renferme un seul corps électrisé A {fig. 19) et une seule surface

Fig. 19.

électrisée, la surface S, qui sépare ce corps du milieu non électrisable qui l'entoure. Les directions N,, No deviennent alors res-

CIIAP. IX. — DU POTENTIEL ELECTROSTATIQUE. MI

pectivement les directions N/, Ne, de la normale à la surface S dirigées vers l'intérieur ou vers l'extérieur du corps A. Dans ces conditions, l'égalité (6) s'écrit

- C f Ç\ \y dxdydz

A l'intérieur du corps A, traçons une surface S' infiniment voisine de la surface S. Soit A' l'espace enfermé par la surface S'. Soit N' la normale à la surface S' vers l'intérieur de l'espace A'. Le théorème de Green [Chapitre III, égalité (5)] nous donne

fjfy AV dx dy dz + g V ^^^, dS'

Faisons maintenant tendre la surface S' vers la surface S ; l'es-

dY pace A' tend vers l'espace occupé par le corps A; x^ tend vers

-T=7- et l'égalité précédente devient

A l'extérieur du corps A traçons une surface fermée S" enveloppant le corps A et infiniment voisine de la surface S. Soit N" la normale à la surface S" vers l'espace illimité qui l'environne. Soit B" cet espace illimité. Par un raisonnement analogue à celui qui nous a donné l'égalité (4) du Chapitre VI, nous trouverons

Faisons maintenant tendre la surface S" vers la surface S ; l'espace B" tend vers l'espace illimité B extérieur à la surface S; -rzp

tend vers -r^ ? et l'égalité précédente devient

Les égalités (6 bis), (y) cl (8) donnent la formule suivante

l'intégration qui figure au second membre s'étendant à tout l'espace.

Telle est l'importante expression du potentiel électrostatique à laquelle nous voulions parvenir.

Cette expression nous montre, en premier lieu, que le potentiel électrostatique ne peut jamais être négatif.

Peut-il être égal à o?

TNous avons vu, au § 1 du Chapitre VT, que l'égalité

entraînait, en tout point de l'espace, l'égalité

Dès lors, en tout point intérieur à l'un des corps qui forment le système, on à

et en tout point des surfaces de discontinuité qui limitent ces corps, on a

__ i /^ àS

Donc, pour que le potentiel électrostatique soit égal à o, il faut et il suffit que le système entier soit à l'état neutre.

Le potentiel électrostatique de tout système électrisé est positif.

En second lieu, si l'on supposait chaque élément de volume de l'espace soumis à des forces dont le potentiel serait

CIIAP. IX. - ni POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE. 123

Tensemble de toutes ces forces aurait le même potentiel que les forces qui, d'après les lois de Coulomb, agissent entre les diverses particules électrisées du système; ces forces effectueraient donc, dans tout déplacement virtuel du système, le même travail que les forces données par les lois de Coulomb. Il en résulte que l'on pourrait substituer ces forces aux forces données par les lois de Coulomb.

Quelles sont ces forces, dont le potentiel sur chaque élément de volume nous est seul connu? C'est une question qui a donné lieu à d'importants travaux de Maxwell ('), mais que nous n'examinerons pas dans le présent Volume.

(') Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, V" Partie, Chap. V. Voir aussi H. Poincaré, Électricité et Optique : I. Les théories de Maxwell et la théorie électromagnétique de la lumière, Chap. II.