CHAP. I. — CONDITION DE L'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE

iiiènie aucune expérience ne peut la démontrer directement, car lout point intérieur au volume qu'un conducteur occupe est inaccessible. La proposition précédente ne peut donc, par sa nature uième, être établie que théoriquement.

La possibilité d'établir théoriquement cette proposition a déjà ('té reconnue par Coulomb. « Cette propriété du fluide électrique, dit-il ('), de se répandre sur la surface des corps conducteurs et de ne point pénétrer dans l'intérieur de ces corps lorsque ce fluide est parvenu à l'état d'équilibre, est une conséquence de la loi de la répulsion de ses éléments, en raison inverse du carré des distances, loi que nous avons trouvée dans notre premier Mémoire ; mais, ('Oinme c'est l'expérience, et non la théorie, qui nous a conduits, nous avons cru devoir suivre la même marche dans l'exposé de nos recherches; voyons actuellement comment la théorie généralise le résultat annoncé par l'expérience. » Suit une démonstration, inexacte d'ailleurs, dont nous aurons à reparler tout à l'heure.

Malgré cette indication de Coulomb, Poisson ne paraît pas s'être préoccupé de déduire de sa théorie la démonstration de ce fait que l'électricité en équilibre réside seulement à la surface des corps conducteurs; il prend toujours cette vérité comme une conséipience de l'expérience (-).

Green est le premier (^) qui ait montré que cette vérité était une conséquence simple et immédiate de la théorie de Poisson. La démonstration de Green peut être remplacée par la suivante :

Supposons, pour un instant, qu'à l'intérieur d'un corps conducteur il existe de l'électricité distribuée soit sur de certaines surfaces avec une densité superficielle finie, soit en de certains volumes avec une densité solide finie. Traçons à l'intérieur de ce conducteur une surface fermée S, assujettie à rencontrer les surfaces censées éleclrisées seulement suivant certaines lignes. A cette surface, appliquons la conséquence générale des lemmes de

(') Coulomb, Loc. cit., p. 76.

(') Poisson, Mémoire sur la distribution de l'électricité à la surface des corps conducteurs, p. 2 {Mémoires des Savants étrangers, 181 1). — Second Mémoire sur la distribution de l'électricité à la surface des corps conducteurs, p. I (Ibld.).

(') Green, Essay... (Nottingham, 1828. Mathematlcal papers 0/ the late George Green, p. 22).

l3o LIVRE II. — DISTRIBUTION ET l'ROBLIiMK DE DIRICIILET.

Gauss, établie au Livre V, Chapitre Vil, § 3. JNoiis aurons

¥s,dS = /iT.tD]l,

D\L étant la masse électrique totale enfermée à l'intérieur de la surface S. Mais, d'après le principe de Poisson, si l'équilibre électrique est établi sur le conducteur considéré, l'électricité qui réside en tout le système exerce une action nulle en un point quelconque pris au hasard à l'intérieur de ce conducteur. On a donc, en tout point de la svirface S, B\. ::= o, et, par conséquent, l'égalité pi'écédente devient

DR — o.

Ainsi, à l'intérieur d'un conducteur, il n'existe pas d'électricité lorsque l'équilibre est établi; l'électricité réside exclusivement à la surface de séparation du conducteur et du milieu isolant.

Coulomb {*) pensait que la propriété que nous venons de démontrer pourrait encore être exacte, lors même que les actions qui s'exercent entre deux points électrisés ne seraient ])as en raison inverse du carré de levir distance. Il suffisait, selon lui, pour que cette propriété demeurât exacte, que, la distance /• tendant vers o,

l'action électrique crût moins rapidement que — •

Cette pensée de Coulomb n'est pas conforme à la vérité. Si l'on admet le principe de l'équilibre électrique proposé par Poisson; si l'on admet, d'autre part, que l'électricité en équilibre sur un conducteur se porte exclusivement à la surface de ce corps, on peut en déduire que l'action mutuelle de deux particules électrisées est en raison inverse du carré de la distance qui les sépare.

En effet, des hypothèses faites, et d'une évidente raison de symétrie, il résulte qu'une sphère conductrice électrisée doit être recouverte d'vine couche électrique ayant en tout point la même densité, et que cette couche exerce une action nulle en tout point intérieur à la sphère.

Or une couche sphérique homogène peut-elle, dans une autre loi que celle de nature, exercer une action nulle eu lout point qui

(') Coulomb, Loc. cit., p. 75.

CIUP. I. — CONDITION DE L'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE. l3l

li est intérieur? Laplace (') a démontré qu'elle ne le pouvait, et M. J. Bertrand (-) a donné de cette impossibilité une ingénieuse démonstration que nous allons reproduire. Soit

la grandeur de la force répulsive qui s'exerce entre deux particules électriques situées à la distance /•.

Si le produit i''f{i') demeure constant, la proposition est démontrée. Supposons donc que ce produit varie et aille, paiexemple, en croissant, lorsque /• augmente de po à 0|.

Prenons une sphère de diamètre (po + P() {/ig- 20) et rccou-

pX/

vrons-la d'électricité, qui forme à sa surface une couche homogène de densité u. Exprimons que l'action de cette électricité en un point intérieur à la sphère, par exemple au point M, dont les distances aux divers points de la sphère varient entre po et pi, est égale à zéro. Par le point M, menons un plan AB, normal au diamètre CD qui passe par ce point. Il partage la sphère en deux calottes, et l'action de l'une, ACB, doit faire équilibre à l'action de l'autre, ADB. L'action de la calotte ACB est évidemment dirigée suivant le diamètre CD. Cette action est la somme des compo-

(') Laplace, Mécanique céleste, première Partie, Livre II, n° 12 ( i"^" édition, t. I, p. i4o.)

(') J. Bertrand, Loi des actions électriques {Journal de Physique pure et appliquée, 1" série, t. II, p. 4i8; 1878).

M. Liouville a démontré le premier que la loi de la raison inverse du carré de la distance est la seule dans laquelle l'électricité se porte à la surface des corps. Voir J. Bertrand, Note sur quelques points de la théorie de l'électricité {Journal de Liouville, t. IV, p. 49^! iSSg).

l32 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

santés suivant ce diamètre des actions exercées au point M par chacun des éléments PQ de la calotte sphérique ACB. Or la composante suivant MO de l'action de l'élément PQ est, en désignant par dtii l'angle sous lequel du point M on voit PQ et par N la normale à cet élément vers l'extérieur de la sphère,

cos(N, r)''

Considérons la composante suivant MG de l'action exercée au même point M par l'élément P'Q' de la calotte ADB, cet élément P'Q' étant découpé par le même cône d'ouverture sphérique c/o). Elle a pour valeur

Mai

on a donc

'!>'= sîT — r /('• )cos(r', MD).

cos(N', r j-' ^ ' ' '

cos(/-, MG) :•-- cos(/-', MD), cos(N,/-) = cos(N', /•');

/• et /■' sont compris entre po et o^ et ;•' est supérieur à /'. On a donc

Les actions de l'élément P'Q' et de l'élément PQ ont une composante positive dirigée de M vers G. Tous les éléments de la sphère peuvent ainsi se combiner deux à deux de manière à donner une composante positive dirigée de M vers G. Le point M est donc soumis à une force dirigée de M vers G. Par suite, on est conduit à une contradiction si l'on ne suppose pas que l'on ait

r^/{r) = const.

CHAP. U. — L'N ET UN SEUL ÉTAT D'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE. l33