IL EXISTE UN ET UN SEUL ÉTAT D'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE
§ 1. — Traduction analytique du principe de Poisson.
Soit M un point pris à l'intérieur d'un conducteur sur lequel l'équilibre électrique est établi. Ce point est extérieur aux masses agissantes, puisque l'électricité réside exclusivement à la surface du conducteur. Les dérivées premières de la fonction potentielle existent en ce point et sont liées aux composantes de la force par les relations
dx Oy ùz
Mais, d'après la condition d'équilibre donnée par la théorie de Poisson, on a
On a donc, en tout point intérieur à un conducteur,
Ox
ày
dz
Ainsi, lorsque l'équilibre électrique est établi sur un système de corps conducteurs électrisés, la fonction potentielle (i une valeur constante à V intérieur de chacun des conducteurs ; réciproquement, si cette condition est remplie pour chacun des conducteurs, V équilibre électrique est établi.
Deux remarques à propos de ce principe.
En premier lieu, la fonction potentielle, étant constante aux points infiniment voisins de la surface du conducteur et étant continue dans tout l'espace, a la même valeur en tous les points de la surface d'un même conducteur.
En second lieu, si N/, N^ sont les deux directions, intérieure et extérieure, de la normale en un point à la surface du conducteur, la densité superficielle o- est donnée en ce point par la relation
l3i LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICIILET.
f^énérale
àY âV
Or, dans le cas actuel, les dérivées partielles du premier ordre de la fonction potentielle sont nulles en tout point intérieur au conducteur, fût-il infiniment voisin de la surface. On a donc
et, par conséquent,
