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§ 2. — Existe-t-il un état d'équilibre électrique?
Ces deux remarques étant données, voici lu question que nous allons examiner en premier lieu :
Un système est formé d'un certain nombre de corps placés dans des positions données; les uns sont mauvais conducteurs /'t possèdent une distribution électrique donnée; les autres sont conducteurs et chacun d'eux renferme une charge électrique totale déterminée. Peut-on, à la surface de chacun d'eux, distribuer cette charge de manière cjuc l'équilibre électrique soit établi sur le système? ^
Pour répondre à cette (juestion, nous démontrerons en premier lieu la proposition suivante :
Une distribution électrique qui rend maximum ou minimum le potentiel électrostatique^ est une distribution d'équilibre.
Supposons, en effet, que, pour une certaine distribution, le potentiel électrostatique
w ^^ tS ^^-
soit maximum ou minimum; supposons que la distribution subisse une variation infiniment petite 5 la variation subie par W doit être égale à zéro.
II\P. II. — IN KT UN SEUL KTAT d'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE. l35
Or, une varia! ion de la distribution ne doit altérer ni la distri-
Hition sur chaque corps mauvais conducteur, ni la charge totale
chaque corps conducteur; toute variation de la distribution
s'obtient donc en superposant un certain nombre d'opérations
analogues à la suivante :
Une charge éleclrique dq passe d'un certain point M d'un conducteur à un autre point M' du même conducteur.
11 faut donc que la variation de W soit nulle pour toute opération de ce genre.
Supposons, en premier lieu, que la charge au point M diminue de dq^ toutes les autres charges demeurant constantes. W augmenterait évidemment de
o,\s^—^zdrj^'-L=-z\dq,
V élanl hi valeur de la fonction potentielle au point M. Supposons ensuite que, les choses étant dans cet état, la charge
au point M' augmente de dq^ toutes les autres charges demeurant constantes. W varierait évidemment de
V ('tant la valeur initiale de la fonction potentielle au point M', et (V' + dV') ce que devient celte valeur lorsque la charge au point M diminue de dq.
Or on a évidemment
MM
Ou a donc
ÔW = 3i W -r- 5,W =z(\'—Y)dq-t -EL- .
MM'
En négligeant l'infîniment petit du second ordre t ^ et en
MM' égalant oW à O, on trouve
ce qui montre (jue la fonction potentielle a la même valeur en deux points quelconques pris à l'intérieur d'un même conducteur et, par conséquent, que toute distribution électrique qui rend W
maximum ou minimum est, comme nous l'avions annoncé, une distribution d'équilibre.
Considérons maintenant le système pour lequel nous voidons prouver qu'il existe une distribution d'équilibre. Quelle que soit la distribution électrique sur ce système, nous savons que W peut s'expriuier de la manière suivante [Liv. I, Ch. IV, égalité (9)],
l'intégi^ale triple étant étendue à tout l'espace.
Cette expression montre que la quantité W n'est jamais négative. Quelle que soit la distribution électrique sur les conducteurs qui forment le système, elle ne peut devenir inférieure à une certaine limite; la quantité W, envisagée comme une fonction de la <listribution électrique, est une fonction dont les variations sont limitées inférieurement.
Si, pour une certaine distribution électrique, la fonction W atteignait sa limite inférieure, elle passerait certainement alors par un minimum et la distribution dont il s'agit serait une distribution d'équilibre. Mais, de ce qu'une fonction est limitée, il n'en résulte pas forcément qu'elle atteigne sa limite; on pourrait concevoir une série infinie de distributions électriques telles que, lorsque \v. système présente successivement toutes ces distributions;, son potentiel électrostatique s'approche indéfiniment de sa limite sans jamais l'atteindre. Par conséquent, ce que nous venons de dire, tout en rendant très vraisemblable l'existence d'une distribution d'équilibre, ne suffît pas, en toute rigueur, à démontrer l'existence de cette distribution.
§ 3. — S'il existe une distribution d'équilibre, il n'en existe qu'une seule.
Voici maintenant une proposition, réciproque en quelque sorte de la précédente, mais susceptible d'une démonstration rigoureuse.
Si, sur un système constitué comme nous venons de V indiquer, il existe une distribution électrique d^ équilibre, il en existe une seule.
Dans certains cas, il peut arriver qu'au lieu de se donner la
CH.VP. II. — UN KT VS SEUr. ÉTAT d'kQUILIBRE ÉLECTRIQUE. 187
charge totale que l'enfei^me un conducteur, on se donne la valeur que la fonction potentielle doit prendre à son intérieur; nous supposerons, pour plus de généralité, dans la démonstration qui va suivre, que certains conducteurs du système se trouvent aussi placés dans celte condition.
Pour simplifier la démonstration, sans nuire à sa généralité, supposons qu'il existe un seul corps conducteur 1 et un seul corps mauvais conducteur 2.
Sur le corps mauvais conducteur, la distribution électrique est donnée. Supposons que, sur le corps conducteur, deux distributions d'équilibre d'une même quantité d'électricité soient possibles. Dans la première distribution, la densité superficielle au point M de la surface du conducteur a une valeur a-, la fonction potentielle en un point de l'espace est V. En tout point situé à l'intérieur du corps i ou à sa surface, celle fonction potentielle prend une même valeur Vj.
Dans la seconde distribution, la densité superficielle au point i\l a une valeur o-'; la fonction potentielle en un point de l'espace est V. En tout point situé À l'intérieur du conducteur 1 ou à sa surface, cette fonction prend une même valeur \\.
La condition pour que la charge électrique totale du conducteur soit la même dans les deux cas s'exprime ainsi
V (ir/Si =- ^t'^/S,,
ou bien
7 } dSi ^rz O.
Quant à la condition pour que la fonction polentielle, à l'intérieur du conducteur, soit la même dans les deux cas, elle s'exprime simplement par l'égalité
(2 bis) V, —\\ —^ o.
On a, d'après l'égalité (i),
, ii dY
l38 MVHE II. — DISTRIBITION KT PROBLÈME DE nHUCIILET.
ce qui peut s'écrire, puisqu'à rintérieur du conducteur i V prend la valeur constante Vj et V la valeur constante V',,
I /àY' >N'
Soit W la fonction potentielle des charges distribuées sur le mauvais conducteur; soit U la fonction potentielle des charges distribuées sur le bon conducteur dans la première distribution; soit U' la fonction potentielle des charges distribuées sur le bon conducteur dans la seconde distribution. On a
Coniuie en tout point du corps bon conducteur on a
jn;- + jn; = "'
les ('galités(3) deviennent
Cî)
L [ÊR . ^iL
I /âU' àl]'\
47r [d'yi,'^ O^i)' Cela posé, envisageons l'égalité
\ §(a'-a)(lJ'U)rfS,
Le théorème de Green permet, comme nous l'avons déjà vu au Livre T, Chap. IX, de remplacer le second membre par
r.///! r-^-T- [^-T- [^-Ti "---•
l'intégration s'étendant à tout l'espace.
D'autre part, en vertu des égalités (4), on a. dans tout l'espace,
