CIIVP. II. — LN ET UN SEUL ÉTAT D'ÉQUILIBRE ÉLECTRIQUE. I ÎÇ

en sorle que, sur la surface S,, (U' — U) prend la valeur constante (V, — V,). Le premier membre de l'égalité (6) peut donc s'écrire

(V',-V,)g(a'-cr)rfS,,

ce qui est égal à o, eu vertu ou de l'égalité (î), ou de l'égalité (2 bis).

L'égalité ((3) devient donc

ce qui suppose que l'on ait dans tout l'espace

OU dv' di] d{y dv diy

à.r O.r Oj- Oy Oz Oz

et, par conséquent, en vertu des égalités (5),

en tout point de la surface S,. Cette égalité démontre le théorème énoncé.

Par une autre méthode, Gauss ( ' ) avait déjà démontre ce théorème pour un conducteur unique soustrait à toute influence. La démonstration générale que l'on vient de lire est due à Liouville (-).

(') Gauss, Allgemeine Lehrsâtze... {Gauss Werke, Bd V). (') LiouviLLE, Note à l'occasion du Mémoire de M. Chasies, Addition à lu Connaissance des Temps pour i84j.

l4o LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICIILET.