L'IDENTITÉ DE GAUSS ET LE THÉORÈME DE LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE

§ 1. — L'identité de Gauss.

Dans ce Chapitre et dans ceux qui vont suivre, nous allons passer rapidement en revue quelques-unes des plus belles idées analytiques dont les géomètres aient fait usage pour résoudre le problème de la distribution électrique.

Li' identité de Gauss (') a servi de point de départ à d'importantes théories.

Soit V la fonction potentielle d'un système de charges électriques M', M", M'", . . . concentrées en des points F, P", P'",

Soit, d'autre part, v la fonction potentielle de charges électriques m'j m", m'", . . . concentrées en des points />', p" , p'", ....

Aux points P', P", P'", . . ., la fonction v a les valeurs v', v", ç'",

Aux points/»', p", //", .... la fonction V a les fonctions V, V",

On a évidemment

et

, de

même,

Envisageons

la

uantité

(') Gauss, Allgemeine Lehrsâtze . . . , art. 19 {Gauss Werke, Bd V, p. 221).

cii.vp. m. — l'identitiî: de galss, etc. i4i

Elle a pour valeur •

Vp'~p'"

ce qui peut encore s'écrire

,/ ÎVr M' M" \

. "Hi>' ^ p'p'^p^'-^---)

ou bien

Ou a donc l'identité

( I ) M' v' -T- M" v" -t- W v'" -h . . .— m' \' -+- Dr!' V" -i- m" V" -^ . . .

ou, abréviativement,

( I bis) ^ '^^ '' ~ ^ '" ^ •

Les charges électriques qui forment l'un des deux systèmes, ou qui les forment tous les deux, au lieu d'être concentrées en des points isolés, peuvent être répandues sur des surfaces ou en des volumes. L'identité précédente demeure exacte, à la seule condition que l'on remplace les sommations par les intégrations correspondantes.

Supposons, par exemple, que le premier système soit formé par une surface S, sur laquelle la densité électrique a une valeur S, et le second par une surface 5, sur laquelle la densité électrique a une valeur t. L'identité de Gauss s'écrira

Il est important de remarquer que cette égalité demeure encore exacte, si l'on suppose que la surface S coïncide avec la surface s, (jue V soit la fonction potentielle d'une couche de densité S distribuée sur cette surface, et v la fonction potentielle d'une couche de densité a distribuée sur la même surface.

l\l LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICULET.

§ 2. — Le théorème de la moyenne arithmétique.

De cette identité, Gaiiss (') a déduit un théorème fondamental auquel M. Cari Neumann a donné le nom de Théorème de la moyenne arithmétique .

Le premier système que nous considérerons, pour démontrer ce théorème, est formé de masses quelconques distribuées d'une manière quelconque. La fonction potentielle V de ce système prend une valeur Vo au point i^o-

Le second système est formé d'une couche de densité superficielle égale à l'unité répartie sur la surface d'une sphère de rajon R ayant pour centre Pq. La fonction potentielle v de cette sphère a

la valeur constante '—^ — en tout point situé à l'intérieur de la sphère

ou à sa surface; en un point extérieur, dont la distance au point l'„

est /% elle a la valeur •

La quantité ^wV devient ici xV^/S, la sommation étant éten-

(hie à la surface de la sphère.

Si Mo est la charge électrique totale qui, dans le premier système, se trouve à l'intérieur de la sphère, et si M', M", . . . sont les charges qui se trouvent à l'extérieur de la sphère ou à sa surface, on aura

iAU=4TrRMo^-47:R2,

,Vffô = 4-RMo+4-RM -r -^^

On a donc

Si la sphère ne renferme aucune charge électrique du premier système, on aura

Mo=o,

et l'égalité précédente deviendra

(') Gauss, Allgemeine Lehrsàtze . . . , art. 20 {Gaitss Werke., Bd V, p. 222).

cH.vp. m. — l'identité dk gvuss, etc. 143

Ainsi, lorsqu'une sphère ne renferme aucune charge agissante à son intérieur, la valeur de la fonction potentielle au ventre de cette sphère est la moyenne aritliméticfue des valeurs que la fonction potentielle prend sur la surface de cette sphère.

Tel est le ihéorèmc dit de la moyenne arithmétique.

§ 3. — Théorèmes sur la variation de la fonction potentielle hors des charges agissantes.

Le théorème trts simple que nous venons de démontrer est d'une rare fécondité. Indiquons-en dès maintenant quelques-unes des conséquences les plus importantes.

1° Si la fonction potentielle a une valeur constante dans une certaine région d' un espace linéairement connexe ne renfermant aucune masse agissante, elle est constante dans tout cet espace (' ).

Soit l'espace linéairement connexe contenu à l'intérieur de la surface T (fig. -m). Dans cet espace, la surface S limite un autre

l-ii;. ...

espace linéairement connexe a, à l'intérieur duquel la fonction potentielle a une valeur constante a. Peut-il arriver que, aussitôt franchie la surface S, la fonction potentielle prenne une valeur variable d'un point à l'autre?

Si cette hypothèse est exacte, comme la fonction potentielle

(') Gauss, Allgemeine Lehrsàtze. .., art. 21 {Gauss Werke, ^Bd V, p. 224).

i44 LIVHK H. — distribution et problème de dirichlet.

varie d'une manière continue d'un point à l'autre, on pourra toujours trouver un domaine linéairement connexe [i, contigu à l'espace a, en tous les points duquel la fonction potentielle aura ou une valeur inférieure à a, ou une valeur supérieure à a. Supposons, pour fixer les idées, que la première supposition soit réalisée.

Traçons une sphère ayant son centre en un point M de l'espace a, une partie ADB de sa surface à l'intérieur de l'espace a, et une autre partie ACB de sa surface à l'intérieur de l'espace ^. L'intégrale vVâfS, étendue à la surface de cette sphère, aura forcément une valeur inférieure à /\Tzl\'-a, tandis que 4''^^^'^ devrait être sa valeur, d'après le théorème de la moyenne arithmétique.

L'hypothèse faite est donc inadmissible, et le théorème énoncé est démontré.

2" Ln un point situé à distance jinie de toute niasse agissante, la valeur de la fonction potentielle ne peut être ni un maximum ni un minimum.

Supposons, en efïet, que la valeur V „ de la fonction potentielle au point Mo soit une valeur maximum ou une valeur minimum ; une valeur maximvim, pour fixer les idées.

Autour du point Mo, nous pourrons toujours tracer un domaine ne renfermant aucune force agissante, et tel qu'en tout point M de ce domaine la fonction potentielle ait une valeur V, inférieure à Vo- Si du point Mo comme centre, nous traçons une sphère de

rayon R en entier contenue dans ce domaine, l'intégrale v V âfS étendue à cette sphère sera forcément inférieure à .^"J^R^Vo, contrairement au théorème de la moyenne arithmétique. L'impossibilité de l'hypothèse faite entraîne l'exactitude du théorème énoncé.

Ce théorème entraîne à son tour de nouvelles conséquences, énoncées déjà par Gauss (' ) dans des cas particuliers et démontrées d'une manière entièrement générale par M. Cari Neumann (-).

(') Gauss, Allgemeine Lehrsàtze . . . , art. 2G, 27, 28 {Gauss Werke, Bd V, p. 228).

(*) Carl Neumann, Revision einiger allgemeinen Sàtze aus der Théorie des logarithmiscJien Potentiales {Malhematisclie Annalen, t. III, p. 34o-344 et 430-434; 1870). — Untersuchungen ûber das logarilhmische und Newton'sche Potential, p. 39-49. Leipzig; 1877.

CHAP. m. — l'identité de gauss, etc. 145

Considérons une surface fermée S à l'intérieur de laquelle ne se trouve aucune charge agissante; il peut arriver que la fonction potentielle ait la même valeur en tout point intérieur à cette surface, ou bien que sa valeur varie d'un point à l'autre de l'espace enfermé par cette surface; dans ce dernier cas, les valeurs qu'elle prend dans l'intérieur de cet espace et sur la surface qui le limite sont toutes comprises entre une limite inférieure A et une limite supérieure B; comme la fonction potentielle est une fonction continue, il existe, dans l'intérieur de cet espace ou sur la surface qui le limite, au moins un point où elle prend la valeur A et un point où elle prend la valeur B. Un semblable point, où la fonction potentielle atteint sa limite inférieure ou sa limite supérieure, ne peut être situé à l'intérieur de la surface S, car en ce point la fonction potentielle présenterait un minimum ou un maximum. Il est donc forcément situé sur la surface S.

Ainsi, si Von trace une surface fermée ne renfermant aucune masse agissante, ou bien la fonction potentielle est constante en tout point intérieur à cette surface, ou bien, à V intérieur de cette surface, elle est constamment comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs qu^elle prend sur la surface.

Cette proposition entraîne de suite cette conséquence :

Si la fonction potentielle a la même valeur en tous les points dUine surface fermée qui ne renferme aucune charge agissante, elle a aussi la même valeur en tous les points intérieurs à cette surface.

Nous verrons plus loin l'importance capitale que présente cette proposition dans l'étude de l'équilibre électrique.

Considérons une surface fermée S renfermant toutes les masses agissantes; l'espace illimité extérieur à cette surface S peut être considéré comme un espace clos compris entre la surface S et une surface dont tous les points sont à l'infini. Si l'on remarque qu'en tout point de cette dernière la fonction potentielle a la valeur o et si l'on raisonne comme dans le cas précédent, on arrive au résultat suivant :

l46 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICHLET.

Traçons une surface fermée renfermant à son intérieur toutes les charges agissantes.

Si la fonction potentielle a la valeur o en tous les points de cette surface, elle a la valeur o dans ^espace illimité cjui lui est extérieur.

Si elle n'a pas la va leur o en tous les points de cette surface, désignons par B et A la plus grande et la plus petite des valeurs qu'elle y prend, ces deux valeurs pouvant être égales entre elles. Dans l'espace illimité extérieur à la surface considérée, la fonction potentielle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande des trois valeurs o, A, B.

Une remarque sur le premier de ces deux cas :

D'après ce que nous avons dit pour ce cas, on voit que, si la fonction potentielle V a la valeur o en tous les points d'une surface fermée contenant toutes les masses agissantes, on a, en tout point de cette surface,

Or, pour toute surface fermée, on a

rfs=:^iz,m,

,')1L étant la somme des charges que la surlace contient. On arrive donc au résultat suivant :

Pour ([ue la fonction potentielle ait la valeur o en tous les points d'une surface fermée qui contient toutes les charges agissantes, il faut c/ue la somme de ces cliarges soit égale à o.

Qu'arrive-t-il dans le cas où la somme des masses agissantes est égale à o sans pour cela avoir une fonction potentielle identiquement nulle en tout point extérieur?

Soit T {fig. 22) une surface qui renferme toutes les masses agissantes soit à son intérieur, soit à sa superficie. Traçons une sphère de rayon R contenant la surface T. Comme nous l'avons vu dans la démonstration du théorème de la moyenne arithmétique, nous

CHAP. III. — l'identité de GVUSS, ETC, IJ^J

aurons

C V ^/S = 47ïRMo+ 4-R"^ ( ^' -i- ^ +. . .) .

Au premier membre, l'intégration s'étend à toute la surface de la sphère. Au second membre, Mq est la somme des masses inté-

l<'ig. 22.

rieures à la sphère, c'est-à-dire à la surface T, M', M", ... les juasses extérieures. Dans le cas actuel, on a

Mo=o, M'=o, ^1"= o,

cl, par conséquent,

D'après cette égalité, si la fonction V n'est pas égale à o en tout point de la sphère, elle j a tantôt des valeurs positives et tantôt des valeurs négatives.

Ainsi, dans le cas qui nous occupe, si la fonction potentielle n'est pas égale à o en tous les points de l'espace extérieur à la surface ï, elle ne peut avoir en tous ces points des valeurs de même signe; o ne peut alors être pour elle ni une limite inférieure, ni une limite supérieure; sa limite inférieure et sa limite supérieure sont toutes deux atteintes en des points de la surface T.

Si l'on rapproche ce résultat de celui auquel on est parvenu dans le cas où la fonction potentielle est égale à o en tout point de surface T, on voit sans peine que l'on peut énoncer ce théorème général :

Lorsqu'une sur/ace fermée contient à son intérieur ou à sa superficie toutes les masses agissantes et que la somme de ces

l48 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

dernières est égale à o, les valeurs de la fonction potentielle à V extérieur de cette surface sont limitées supérieurement et inférieurement par deux des valeurs de cette fonction sur la surface; ces deux limites sont de signe contraire, à moins qu'elles ne soient toutes deux é cales à o.

CIIAP. rv. — THÉORÈMES SUR LE SIGNE DE LA DENSITÉ ÉLECTRIQUE. 1 49