CHAPITRE IV

QUELQUES THÉORÈMES SUR LE SIGNE DE LÀ DENSITÉ ÉLECTRIQUE A LA SURFACE D'UN CONDUCTEUR.

Les théorèmes démontrés au Chapitre précédent permettent de démontrer quelques propositions très simples et très générales sur la distribution électrique à la surface d'un système qui renferme exclusivement des corps conducteurs.

Lorsque la densité électrique aura le même signe en tous les points de la surface d'un conducteur, nous dirons, avec M. Cari Neumann, que la distribution est monogène à la surface de ce conducteur; lorsque, au contraire, la densité électrique aura des signes différents aux divers points de la surface d'un conducteur, nous dirons que la distribution est amphigène.

Théoiiiîme L — -5*/ un système est formé d'un conducteur électrisé unique, la distribution à la surface de ce conducteur est nécessairement monogène.

Soit, en effet, A la valeur constante que prend la fonction potentielle à la surface de ce conducteur, valeur que nous supposons différente de o. Imaginons, pour fixer les idées, qu'elle soit positive. Dans le champ extérieur au corps conducteur, nous savons que la fonction potentielle prendra des valeurs toutes comprises entre o et A, par conséquent toutes inférieures à A. On aura donc,

en tout point du conducteur, ,;^ << o, et, par conséquent, o- >» o.

Si l'on avait supposé A négatif, on aurait eu, en tout point du conducteur, u <^ o. Si l'on avait supposé A égal à o, on aurait eu, en tout point de la surface du conducteur, !7 = o. Le théorème énoncé est ainsi démontré.

l5o LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICIILET.

Ce théorème est dû à Gauss ('). Les suivants sont dus à M. Cari Neumann (-).

Théorème II. — Deux conducteurs C et C, portant des charges cjuelconques, sont mis en présence et soustraits à V influence de tout autre corps électrisé ; la distribution est monogène au moins sur l'un d^ entre eux.

Soit V la fonction potentielle; soient A et A' les niveaux potentiels des deux conducteurs C et C, c'est-à-dire les valeurs constantes aiixqiielles se réduit la fonction potentielle à l'intérieur de ces conducteurs.

Si l'on considère l'ensemble des points extérieurs aux deux conducteurs C et C, les valeurs de la fonction potentielle en ces poiiils sont limitées inférieurement et supérieurement par deux des trois quantités

Donc, de toutes manières, l'une au moins des deux quantités A et A' est limite soit inférieure, soit supérieure, des valeurs que prend la fonction potentielle dans le cliamp. Supposons, par exemple, que la quantité A joue ce rôle de limite. Il sera facile, en répétant une démonstration analogue à celle du théorème pi-écédent, de prouver que la distribution à la surface du conducteur (^ est forcément monogène.

Le théorème précédent est entièrement général. D'autres propositions analogues peuvent être données, qui sont utiles lorsqiu* l'on possède certains renseignements soit sur les charges des conducteurs en présence, soit sur les niveaux potentiels. Voyons d'abord les théorèmes dont l'application nécessite certains renseignements sur les charges des conducteurs.

Théorème III. — En présence d'un conducteur induit renfermant une charge totale égale à o, on place un inducteur électrisé; la distribution sur l'induit étant nécessairement

(') Gauss, Allgerneine Lehrsàtze. . .. arl. 28 {Gauss Werke, Bil V, p. 33 1). (') C. Neumann, Untersuchungen ûber das logarithmische iind Newton'sclie Potential, Chap III, §§ 4, 5, 6. Leipzig; 1877.

CIIAP. IV. — TIlÉOnÈMES SUR LE SIGNE DE LV DENSITÉ ELECTRIQIE. l5l

amphigcne, la distribution sur V inducteur sera forcément monogène.

Ce théorème résulte immédiatement du précéder! l.

TnÉouiiME IV. — Si V on met en présence deux conducteurs portant Vun la charge totale + pi, Vautre la charge totale — [JL, la distribution sur chacun d^eux est nécessairement mono se ne.

En efïet, d'après le théorème démontré à la fin du Chapitre précédent, les limites supérieure et inférieure des valeurs de la fonction potentielle dans le champ sont alors les niveaux potentiels des deux conducteurs. Une démonstration analogue à celle du théorème I montre que chacun d'eux porte une distrihution monogène.

TnÉoiiiiME ^. — Une charge — i, concentrée en un point quelconque, produit une distribution monogène sur un conducteur portant la charge totale -\-\.

Ce théorème est un cas particulier du précédent.

Théorème \1. — Lue charge — i, concentrée en un point quelconque V., produit une distribution monogène sur un conducteur emportant la charge totale (i + [x), a étant une quantité positive quelconque.

Soit A le niveau potentiel du conducteur G. Le point P peut être considéré comme une surface évanouissante en tout point àc laquelle la fonction potentielle a la valeur — oo. Les limites des valeurs de la fonction potentielle dans le champ sont donc deux des trois quantités

— yz, o, A.

— 00 est forcément la limite inférieure des valeurs de la lonclioii potentielle dans le champ. La limite supérieure de ces valeurs ne peut être o, car la fonction potentielle aurait en tout point du champ des valeurs négatives, tandis qu'il est aisé de voir qu'en un point très éloigné des masses agissantes elle se réduit sensible-

i52 IJVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DIC DIRICHLET.

ment à -, c'esl-à-dire à une quantité positive. Donc la limite supérieure des valeurs de la fonction potentielle est A, et il en résulte immédiatement que la distribution sur le conducteur G est monogène.

Examinons maintenant les propositions relatives aux cas où les deux conducteurs en présence, C et C, sont maintenus à des niveaux potentiels connus.

TnÉORiiME VII. — Si deux conducteurs en présence sont maintenus à des niveaux potentiels de même signe, la distribution est m.onogène sur celui des deux dont le niveau potentiel est le plus grand en valeur absolue ; elle a le même signe que le niveau potentiel.

Si, par exemple, on a

A sera la limite supérieure des valeurs de la fonction potentielle dans le champ, et alors, sur le conducteur C, la distribution sera monogène et positive, ce qui démontre le théorème énoncé.

Théorème VIII. — Si deux conducteurs en présence sont maintenus à des niveaux potentiels de signe contraire, sur chacun d'eux la distribution est monogène et de même signe que le niveau potentiel.

Les deux limites entre lesquelles sont compiises toutes les valeurs de la fonction potentielle dans le champ sont, en effet, dans ce cas, A et A'.

Théorème IX. — Si l'un des deux conducteurs, C, est maintenu au niveau potentiel A, et l'autre, C, au niveau potentiel o, la distribution est monogène sur chacun d'eux ; sur C, elle a le signe de A; sur C, un signe contraire à celui de A..

Dans ce cas, en effet, les deux limites entre lesquelles sont comprises toutes les valeurs de la fonction potentielle dans le champ sont A et o.

CIIAP. IV. — THÉORÈMES SIR LE SIGNE DE LA DENSITÉ ÉLECTRIQUE. l53

Théorème X. — Sa/- un conducteur mis en communication avec le sol, une charge électrique d'un certain signe, concentrée en un point, engendre une distribution monogène de signe contraire.

C'est un cas particulier du lliéorème précédent.

Remarquons, en terminant, que le théorème I peut se généraliser. Une démonstration analogue à celle qui a fourni ce théorème permettra d'établir le suivant :

TnÉoRiiME XL — Dans un système formé d'un nombre quelconque de corps conducteurs, l'un au moins de ces conducteurs porte une distribution monogène.

Toutes les démonstrations que nous venons de donner supposent que les surfaces des conducteurs limitent un espace linéairement connexe indéfiniment étendu en tout sens. L'exactitude des théorèmes précédents suppose donc tous les conducteurs extérieurs les uns aux autres. Ils peuvent cesser d'être applicables si l'un des conducteurs est intérieur à une cavité dont l'autre forme les parois. C'est à ce cas très important de distribution électrique que sera consacré le Chapitre V du IJvre 111.