LE PROBLÈME DE LEJEUNE-DIRICHLET

§ 1. — Le problème de la distribution électrique se ramène au problème de Lejeune-Dirichlet.

Le problème général de la distribution électrique peut s'énoncer de la manière suivante :

Un certain nombre de corps mauvais conducteurs A, A', A". . . . portent des distributions déterminées.

Un certain nombre de corps conducteurs B, B', B". . . . sont isolés et portent des charges électriques totales déterminées Q, Q',

Un certain nombre de corps conducteurs C, (7, i"'' . . . soûl maintenus à des niveaux potentiels déterminés y, v', v". ...

Existe-t-il une distribution électrique d'équilibre sur les conducteurs B, B', B", . . . C, C, C", ... et quelle est cette distribution?

Rappelons en premier lieu que, d'après la démonstration de M. Liouville, que nous avons indiquée au Chapitre II, un semblable problème, s'il admet une solution, n'en admet qu'une seule. Ce théorème est essentiel pour l'étude qui va suivre.

Le problème que nous venons d'énoncer va pouvoir se décomposer en deux problèmes successifs, dont chacun doit admettre au plus une solution d'après ce que nous venons de dire.

Le premier problème est le suivant :

Trouver la distribution électrique engendrée par les mauvais conducteurs A, A', A", . . . sur les bons conducteurs B, B', B", ..., C, (Z' , C", maintenus à des niveaux potentiels donnés b, b', b", . . ., c, c', c", . . ., quels que soient ces niveaux potentiels.

Ce premier problème étant résolu, on aura à résoudre le suivant. Dans la distribution précédente, les charges totales respectives des