CHAP. V. — LK PROBLEME DE LEJEUNE-DIRICIILET

conducteurs B, B', B", . . . sont des fonctions des quantités b, V , b". . . . c, c', c", . . . dont le calcul peut se faire lorsque la distribution est déterminée. Soient

ces charges.

On aura à déterminer les quantités b, b', b", . . les équations

Cj C j C ,

pa

Il suffira alors de reporter ces valeurs de b, b', b", . . . , c, c', c", . . . dans la solution du premier problème pour avoir résolu complètement la question de distribution électrique que l'on s'était posée.

La difficulté de l'étude de la distribution électrique réside habituellement dans la solution du premier problème; le second est de moindre difficulté. Voyons, par exemple, comment on résoudra le second problème dans le cas où le système ne renferme qu'un seul conducteur.

Si ce conducteur est le conducteur C, maintenu au niveau potentiel y, les équations du second problème se réduisent à l'équation toute résolue c := v.

Si ce conducteur est le conducteur B, portant une charge déterminée Q, le second problème se ramène à la résolution d'une équation du premier degré.

Imaginons en effet, pour un instant, que l'on ait résolu le problème suivant :

Le conducleuf B étant soustrait à toute influence, de quelle manière V électricité doit-elle être distribuée à sa surf ace pour y maintenir le niveau potentiel i?

Supposons que S soit, dans ce problème, la densité électrique en chaque point du conducteur B et ^la charge distribuée à sa surface.

l56 LIVRE II. DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICIILET.

D'aiilrc part, dans le premier problème, soil '^(0) la densité électrique en tout point du conducteur b.

Si nous plaçons en présence du corps non conducteur A le conducteur B, et si, en chaque point de sa surface, nous plaçons de l'électricité avec la densité t(6) + 6'S, nous aurons évidemment une nouvelle solution du premier problème, solution dans laquelle le niveau potentiel du conducteur B sera (^ + b'). La charge totale de ce conducteur sera devenue q{b) -{- b' ■^. On a donc

La fonction q{b) est donc une fonction linéaire de 6, et l'équation à résoudre se réduit à une équation du premier degré en b.

C'est donc sur la solution du premier problème que doit être portée notre attention.

Les conducteurs B, B', B", . . . , C, C", C", . . . peuvent être creusés de cavités^ certains d'entlre eux peuvent être contenus à l'intérieur des cavités dont d'autres forment les parois. L'espace non occupé par la matière de ces conducteurs peut donc se décomposer en plusieurs espaces linéairement connexes. L'un de ces espaces s'étend à l'infini, les autres sont limités de tous côtés parles parois des conducteurs.

Soit V la fonction potentielle, en un point de l'espace, de toutes les charges distribuées sur le système ; soit U la fonction potentielle des charges distribuées sur les mauvais conducteurs ; soit W la fonction potentielle des charges distribuées sur les conducteurs.

On a

La fonction U est d'ailleurs une fonction donnée, en sorte que la détermination de la fonction V, qui suffit à résoudre le problème de la distribution électrique, se ramène à la détermination de la fonction W. Voyons à quelles conditions est assujettie cette fonction W.

Considérons l'espace linéairement connexe extérieur à tous les conducteurs.

Dans cet espace, la fonction W est harmonique.

Si R désigne la distance d'un point à l'origine des coordonnées,

t^W t)W dW

àx oy dz

CHAP. V. — LE PROBLEME DK LEJEUNE-DIRICHLET. I Sj

demeurent des quantités finies lorsque R croît au delà de loulc; limite. L'espace en question s'appuie sur certaines surfaces S, S', S", . . . , T, T', T", , . . appartenant aux conducteurs H, B', B", . . , C, C, C", ....

Sur la surface S, on a W — b — U, Sur la surface S', on a VV — b' — U. Sur la surface S", on a W = b" — U,

Sur la surface T, on a W= c — U,

les quantités [b — U), (h' — U), {b" — U),. . ., (c — U), .. . étant des données du problème.

Considérons maintenant un espace linéairement connexe liniil<* de toutes parts par les conducteurs. Soient s, s', s". ...,/,;', l", . . . les surfaces appartenant aux conducteurs B, B', IV', . . ,C, C, C". . . . qui limitent cet espace.

Dans l'espace considérée, la fonction W est harmonique

Sur la surface s, on a W ~ b — L, Sur la surface s', on a W — Z*' — U,

Sur la surface /, on a W = c — V.

Réciproquement, si l'on a déterminé une fonction W qui, dans les divers espaces considérés, satisfasse aux conditions que nous venons d'indiquer, on aura déterminé la fonction cherchée.

En effet, supposons que, dans les divers espaces linéairement connexes que n'occupent pas les conducteurs, on ait déterminé une fonction W qui vérifie les conditions précédentes. Pour obtenir une fonction W définie dans tout l'espace, nous conviendrons de donner à cette fonction la valeur b à l'intérieur du conducteur B, les valeurs b', b", . . . , c, c\ c", ... à l'intérieur des conducteurs B',B",...,C,C',C",....

Alors, la fonction W sera finie, uniforme et continue dans tout l'espace; elle sera harmonique à l'intérieur de chacune des régions linéairement connexes en lesquelles l'espace illimité est partag<'

1)8 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLIi.ME DE DIRICIILET.

parles surfaces qui séparent les conducteurs du milieu isolant; elle prendra des valeurs données sur chacune des surfaces dont il s'agit.

Lorsque R croît au delà de toute limite, les quantités RW, R--t— >

R2-— -, R* -- garderont des valeurs finies. D'après ce qu'on a

VU au Livre 1, Cli. Vil, § 5, une seule fonction W peut présenter cet ensemble de caractères; la fonction W que nous avons trouvée coïncide donc avec celle que nous cherchions.

Le problème de la distribution électrique se ramène ainsi à la résolution d'un certain nombre de problèmes réductibles à deux types principaux : ces deux types, auxquels nous donnerons les noms de problème extérieur de Lej euiie-Dirichlet et de problème intérieur de Lejeune-Dirichlet, sont caractérisés ainsi :

i" PnoBi.iiMK KXTÉRiEUR DE Lkjkitve-Dirichlkï. — Etautdoiiué un espace linéairement connexe, illimité, extérieur à certaines surf aces fermées S, S', ... , trouver une fonction V, harmonique en tout point de cet espace; égale à o à l'infini, de telle sorte

nue RV, R- — -> R- -— > R--t- gardent des valeurs finies

^ ' ox dy Oz '=' ■'

lorsque la distance R du point [x,y^z) à V origine des coordonnées croît au delà de toute limite; et prenant sur les surfaces S, S', ... des valeurs données qui varient d\ine manière continue d'un point à Vautre de ces surfaces.

2" PROBLi:ME 1^TÉR1ELR DE Lejeuke-Dirichlet. — Etant donné un espace linéairement connexe, limité par certaines surfaces fermées S, S', ... , trouver une fonction \ , harmonique en tout point de cet espace et prenant sur les surfaces S, S', ... des valeurs données qui varient d'une manière continue d'un point à l'autre de ces suif aces.

La solution de tout problème de distribution électrique comporte la solution d'un problème extérieur et d'un certain nombre de problèmes intérieurs. Dans le cas particulier où le système se compose exclusivement de conducteurs pleins extérieurs les uns aux autres, la distribution électrique sur ce système se détermine au moven de la seule solution du problème extérieur.

CHAP. V. — LE PROBLÈME DE LEJELNE-DIRICHLET. 1 Sq

.^ 2. — Essai de démonstration du principe do Lejeune-Dirichl et.

C'est Riemann qui, en 185^ C), a donné le nom de problèmes de Dirichlet aux problèmes précédents, et de principe de Dirichlet à l'énoncé qui affirme, dans tous les cas, l'existence d'une solution pour ces problèmes. Ce nom, aujourd'hui adopté par les géomètres, est fort mal choisi; car Lejcune-Dirichlet n'a jamais rien publié sur ce sujet. Ce problème n'est, en réalité, comme nous le verrons au prochain Chapitre, qu'une autre forme d'un problème posé par Green dès 1828. Gauss (-), en iSSg, énonce également un problème équivalent à celui-là, et propose une démonstration tendant à prouver qu'il admet toujours une solution. Enfin, en 1847, Sir W. Thomson (3) énonce, en le généralisant même, le problème dit de Dirichlet, et, par une méthode analogue à celle de Gauss, démontre qu'il admet toujours une solution.

La démonstration proposée par Gauss a servi de Ijpe aux aulres démonstrations qui ont été proposées pour prouver le principe de Dirichlet, c'est-à-dire l'existence d'une fonction résolvant, dans tous les cas possibles, l'un ou l'autre des problèmes de Dirichlet. La démonstration de Gauss a été reprise par M. E. Mathieu ('). Les deux démonstrations proposées par Sir W. Thomson dérivent évidemment de la même idée. Il en est encore de même de celle que l'on va lire.

Celle-ci se trouve, pour la première fois, restreinte au cas de deux variables, il est vrai, dans le Mémoire de Riemann que nous avons cité; Nalani ("*) l'a exposée le premier pour le cas de trois varia-

(') li. l\iKMAXX, Théorie cler Abel'schen Funktionen {Borchardt's Journal, t. LIV, p. ii5; 1857. — Biemann's gesammelle Werke, p. 90).

{') Gauss, Allgemeine Lehrsiitze. . ., art. 31 {Gauss Werke, Bd V, p. a'il). — Nous reviendrons sur le problème de Gauss au I^ivre III, Cliap. V.

(') W. Thomson, Theorems with référence to the solution of certain partial differential équations ( Cambridge and Dublin niatheniatical Journal; janvier iS'iS. — Traduit on français dans le Journal de Liouville, t. XII, p. 49-3 ; 1847. W. Thomson, Reprint of papers on Electrostatics and Magnetism, n" 206).

(*) Mathieu, Réflexions au sujet d'un théorème d'un Mémoire de Gauss sur le potentiel {Borchardt's Journal, t. LXXXV, p. 264; 1878).

(^) Natani, Mathematisches Wôrterbuch, Bd V, p. 602; 1866.

l6o LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICIILET.

bles, mais rmi et l'autre déclarent l'emprunter à l'enseignement de Lcjeune-Dirichlet. Nous la trouvons, en elTet, dans les Leçons de Lejeune-Dirichlet, rédigées par M. Grube (*).

Cette démonstration, comme nous le verrons en l'exposant, donne prise à plusieurs critiques fort graves, dont quelques-unes atteignent aussi celle de Gauss et toutes celles qui en dérivent. Ces critiques sont dues à M. Weierstrass, à M. Kronecker (2) et à M. Heine (3).

Nous démontrerons, par la méthode de Lejeune-Dirichlet, l'existence d'une solution pour le problème intérieur; on verrait sans peine que l'on peut construire, pour le problème extérieur, une démonstration analogue sujette aux mêmes critiques.

Soit donc un espace linéairement connexe clos, limité par un<; surface fermée S qui peut être composée de plusieurs parties. Soit q une valeur variable d'une manière continue sur la surface S.

ALdmettons, en premier lieu, qu'il existe une infinité de fonctions Q, régulières dans tout l'espace considéré, et dont la valeur au point i^x^y, z) tende vers la valeur ^lorsque le point (yXj y, z) tend d'une manière quelconque vers un point de la surface S.

Cette supposition, que Dirichlet regarde comme évidemment permise, pourrait fort bien n'être pas légitime. M, Heine a montré, il est vrai, que, s'il existe une semblable fonction Q, il en existait certainement une infinité; mais il a fait observer que l'existence d'une pareille fonction dans tous les cas possibles n'est nullement chose certaine.

(') P.-G. Lejeune Dirichlet, Vorlesungen ûber die in umgekehrten Verhàltniss des Quadrats der Entfernung wirkenden Kràfte, lierausgcgebea von F. Grube, p. 127. Leipzig; 1867.

(^) M. Weiersirass et M. Kronecker n'ont formule ces critiques dans aucune de leurs publications; mais M. Heine, Ueber trigonometrische Reihen {Borchardt's Journal, Bd LXXI, p. 36o; 1870) et M. Bruns, Deproprietate quddam functionis potentialis corporuin homogeneorum {Inaugural Dissertation,^. la; Berlin, 1871), en les faisant connaître, déclarent les emprunter à l'enseignement des deux illustres géomètres.

(') Heine, Loc. cit. et Ueber einige Vorausselzungen beini Beweise des Dirichlet'schen Princips {Matheniatische Annalen, t. IV, p. 62G; 1871).

CH.\P. V. — LE PROBLÈME DE LEJEUNE-DIRICHLET. l6l

Cette première hypothèse faite, considérons l'intégrale

étendue à notre espace clos.

Cette intégrale est finie et n'est jamais négative; ses valeurs admettent donc une limite inférieure. Dirichlet regarde comme évident qu'il existe au moins une détermination de la fonction Q qui fait prendre à J cette valeur limite. M. Kronecker et M. Weierstrass ont fait justement remarquer qu'une quantité dont les valeurs sont limitées ne prend pas forcément sa valeur limite, en sorte que la démonstration présente ici un deuxième point douteux.

Admettons néanmoins que, parmi les fonctions Q, il en existe au moins une, V, qui rende J minimum.

Nous allons prouver que cette fonction vérifie, en tout point Intérieur à l'espace considéré, l'équation

AV = o.

Il sera alors prouvé que la fonction V, qui prend sur la surface S les valeurs ^, résout le problème de Dirichlet à l'intérieur de l'espace considéré.

La fonction V étant régulière, ayant par conséquent des dérivées partielles du premier et du second ordre qui sont continues, la quantité AV varie d'une manière continue à l'intérieur de l'espace considéré. On pourra donc toujours partager cet espace en un certain nombre de régions qui seront de trois sortes :

1° Des régions A, A'. . . ., où AV est égal à o; 2° Des régions B, B'. . . ., où AV est positif; 3° Des régions C, C, . . ., où AV est négatif.

Ces régions sont limitées par la surface S et par des surfaces le long desquelles AV = o.

Imaginons que l'on forme une fonction T, régulière dans l'espace considéré, prenant en tout point de la surface S la valeur o; positive en tout point des régions B, B', ...; négative en tout point des régions C, C, ... ; égale à o, par conséquent, sur les surfaces qui séparent ces deux sortes de régions ; quelconque en- D. - I. II

fin dans les régions A, A', .... Dirîchlet admet l'existence d'une semblable fonction, existence qui n'est cependant nullement évidente. C'est le troisième point faible de sa démonstration. Soit h une constante arbitraire. La fonction

U = Vh-AT

est une des fonctions Q, quelle que soit la constante h. Pour cette fonction U, l'intégrale J devient

J J J \dx dx dy dy '^ Oz Oz ) ^

D'après ce qui a été dit, la fonction V rend l'intégrale J minimum. La quantité J est donc maintenant une fonction du second degré de li qui doit être minimum pour h=.o.

Il est nécessaire, pour qu'il en soit ainsi, que l'on ait

J J J \ ^x dx ày dy dz dz / J ^ — •

La fonction T est égale à o en tout point de la surface S. Dès lors, l'identité de Green permet [Liv. I, Chap. III, égalité (3)] de remplacer cette condition par la suivante :

r r CtW dx dy dz = o.

Le produit TAV, nul en tout point des régions A, A', . . ., est positif en tout point des régions B, B', ..., C, G', .... L'égalité précédente ne peut donc subsister que si les régions B, B', .. ., G, G', ... n'existent pas. On a alors, en tout point de l'espace considéré,

AV = o,

et la fonction V résout le problème de Dirichlet.

On a vu combien la démonstration du principe de Dirichlet, donnée [par Lejeune-Dirichlet, est peu satisfaisante, bien qu'elle ait l'avantage de faire envisager le problème posé à un point de vue nouveau et intéressant. Nous verrons, dans les Ghapitres sui-

CHAP. V. — LE PnOBLÈME DE LEJEUNE-DIRICHLET. l63

vants, que Ton peut démontrer le principe de Dirichlet dans des cas qui, malgré leur étendue, demeurent particuliers. Lors donc (jue nous admettrons l'exactitude du principe de Dirichlet dans le cas le plus général, nous ne devrons pas oublier que nous faisons une hypothèse dont la vérification dépasse la portée de l'analyse actuelle.

§ 3. — Enoncé d'un problème plus général que celui de Lejeune-

Dirichlet.

L'équilibre électrique sur un système de conducteurs devant être unique, chacun des problèmes de Lejeune-Dirichlet doit admettre au plus une solution. Il est facile de s'assurer directement qu'il en est ainsi, non seulement pour le problème de Lejeune- Dirichlet, mais encore pour un problème plus général, qui peut s'énoncer de la manière suivante :

On donne un espace clos, limité par une surface fermée S. On demande de trouver une fonction V harmonique dans tout Vespace clos dont il s'agit, continue, ainsi que ses dérivées premières, en tout point de la surface S, lorsqu'on connaît les valeurs de V en tout point d'une partie S' de la surface S et

les valeurs de -^ en tout point de Vautre partie S" de la surface S.

Supposons que ce problème puisse admettre deux solutions distinctes, et soit 0 la différence de ces deux solutions. Alors, en

tout point de S', on aurait 0 = o, et en tout point de S", -r^ = o,

ce qui permettrait d'écrire

ou bien, la fonction 0 étant forcément harmonique dans l'espace considéré,

l64 LIARE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

ce qui entraînerait

de de de

dx ~ ' dy ' dz

en tout point de l'espace clos considéré.

Les deux solutions du problème posé ne peuvent donc, à l'intérieur de l'espace considéré, différer que par une constante. Encore cette constante se réduit-elle à zéro pour peu que V soit donné, fût-ce en un point seulement de la surface S ; car, en ce point, on doit avoir 0 = o.

On peut énoncer un problème analogue pour l'espace extérieur à la surface S, en ajoutant qu'à l'infini V doit présenter les caractères d'une fonction potentielle. On démontrera, comme nous venons de le faire pour le problème intérieur, que ce problème extérieur ne peut admettre plus d'une solution.

CH.VP. VI.

lA FONCTION DK GREEN.