LA FONCTION DE GREEN
§ 1. — Le problème de Green équivaut au problème de Dirichlet.
Le problème dit de Dirichlet est équivalent à un problème posé par Green dès 1828 ('). Ce problème peut être présenté, au point de vue logique, sinon au point de vue historique, comme la recherche d'une généralisation du théorème de la moyenne de Gauss.
A l'intérieur d'une sphère de rayon R, une fonction V est harmonique. Sa valeur Vo, au centre de la sphère, se déduit de ses valeurs à la surface de celte sphère par la relation
4^Vo= j^gvrfS,
l'intégrale s'étendant à la surface de la sphère ; tel est le théorème de la moyenne.
L'égalité (i) peut s'écrire sous une forme peu différente. Soit r la distance d'un point quelconque de l'espace au centre de la sphère. Soit N, la normale à l'élément d'à vers l'intérieur de la sphère. En un point de l'élément dS, nous aurons
et
EL
en sorte que l'égalité (i) peut s'écrire
4TrVo
(') George Green, An essay on the application of mathematical Analysis to the théories of electricity and magnetisni; Noltingham, 1828, Art. 5 {Mathematical papers of the late George Green, edited by Ferrer s, p. 3i).
l66 LIVRE H. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICIILET.
Le problème de Green a pour but de généraliser cette égalité.
Considérons un espace clos, linéairement connexe, limité par une surface fermée S {fig- 28), ci connexion simple ou
Fii?. 23.
multiple, et un point fixe Mq (.^0,^05 ^0) à Vintérieur de cet espace.
Soit M(.r, y, z) un point variable du même espace, et représentons par r la longueur MMo-
On demande de trouver une fonction G{x,y, :z) qui vérifie les conditions suivantes :
1° Cette fonction est harmonique dans tout l'espace considéré, sauf au point Mq;
2** Au point Mo, elle est infinie, mais la différence
G(;r, jK, z) est harmonique dans tout V espace, même au
point Mo ;
3" Toute fonction V, harmonique dans V espace considéré, prend, au point Mo, une valeur Vq donnée par V égalité
Tel est le problème de Green ; la fonction G, que ce problème a pour but de déterminer, a reçu de Riemann le nom de fonction de Green.
La comparaison des égalités (2) et (3) montre que, dans le cas particulier où la surface S est une sphère, et où le point Mq en est
