CHAP. M. — LA FONCTION DE GREEN. I

le centre, on a

Le théorème de la moyenne détermine dans ce cas la fonction de Green.

Il est facile de voir en premier lieu que le problème de Green ne peut admettre, pour une surface S donnée et pour une position donnée du point Mq, plus d'une solution.

Admettons en effet que, pour vine même surface S et pour un même point Mo, on ait trouvé deux fonctions de Green, (j[x,y, z) et G'(x,y, z). Alors, quelle que soit la fonction harmonique V, en désignant par Vo sa valeur au point Mo, on pourra écrire

dG 47rVo= J^ V

et aussi

f)G ou, par conséquent.

°=S^"-'^âN-^''^-

Mais les deux fonctions

sont, par hypothèse, des fonctions harmoniques à l'intérieur de l'espace considéré. Il en sera donc de même de la fonction

G(a7, jK, z) — G'{x,y, z),

en sorte que l'on pourra écrire

dNi

dS = 0.

La fonction (G — G') étant harmonique, cette égalité peut se transformer, par l'identité de Green, en

et, par un procédé que nous avons plusieurs fois suivi, on déduit

l68 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICHLET.

de cette égalité que l'on doit avoii^, en tout point de l'espace considéré,

— G, = Oi

dx dy Oz

Les deux fonctions G et G' ne peuvent donc différer que par une constante-, elles ne fournissent pas deux solutions réellement distinctes du problème de Green, puisque la fonction G n'entre dans l'égalité (3) que par ses dérivées premières.

Cette proposition nous montre que, si nous obtenons, par un procédé quelconque, une solution du problème de Green, nous en aurons obtenu par le fait même la solution générale. Nous allons obtenir de la manière suivante une solution du problèzne de Green.

Soit r(^, y, z) une fonction d' x^ y, z, satisfaisant aux conditions suivantes :

1° En tout point de V espace considéré, elle est harmonique ;

2° En tout point de la surface S, elle prend la valeur ,

La fonction

(4) G(^,jK, :;) = r(^,jK, 5)-+-^

résout le problème de Green pour la surface S, et le point Mq.

Considérons, en effet, une fonction V quelconque, harmonique dans l'espace considéré ; le théorème de Green donnera

ou bien, puisque la fonction F est égale à — - en tout point de la surface S,

D'autre part, du point Mq comme centre, traçons une surface sphérique c avec un rayon R assez petit pour que cette surface soit

tout entière à l'intérieur de l'espace considéré. La fonction - sera,

comme la fonction V, harmonique dans tout l'espace compris