CHVP. VI. — L\ FONCTION DE GREEN
entre la sphère <t et la surface S. Si donc on désigne par dn un élément de la surface sphérique o-, par v/ la normale à l'élément fh vers l'intérieur de l'espace dont il s'agit, le théorème de Green donnera
Mais on a, sur la surface a-,
Vo+U,
Si l'on désigne par <:/0 l'angle sous lequel, du point Mq, on voit l'élément c^o-, on a
Si l'on pose enfin
l'identité {h) deviendra
le dernier signe V indiquant une sommation qui s'étend aux éléments de la sphère de rayon i ayant pour centre le point Mq-
L'identité (c) a lieu quel que soit R. Faisons maintenant tendre R vers o ; au premier membre, les deux premiers termes ne varient
pas; le troisième tend vers o, car U tend vers o avec R, et t— demeure fini. Nous trouvons donc, incidemment, le résultat suivant.
Si une fonctionY est harmonique dans un espace clos limité par une surface fermée S et si Vq est sa valeur en un point Mo de cet espace, on a
r I dM
Cette identité est due à Green ('). Elle a une haute importance : nous aurons souvent à en faire usage.
( ' ) George Green, An Essay. . . , Art. 4 ( G. Green's Mathematical Papers, p. 29).
170 LIVRK II. — DISTRIBUTION ET PUOULÈMIÎ DE DIRICIIKET.
La démonstration de la proposition que nous avons énoncée résulte immédiatement de la comparaison entre cette identité el l'identité (a), comparaison qui nous donne
47rVo = Q V -^-,— ^
dS.
La proposition que nous venons de démontrer nous montre que:
Si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour la région intérieure à une certaine surface S, on sait déterminer la fonction de Green pour la surface S et un point cjuelconqueMo intérieur à cette su/face.
11 suffit de se reporter à l'énoncé même du problème de Green pour voir que, réciproquement, si l'on sait déterminer la fonction de Green pour une surface fermée S, cjuelle que soit la position du point Mo à U intérieur de la surface S, on sait résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace intérieur à cette surface.
Ce que nous venons de dire met en évidence l'équivalence exacte du problème intérieur de Dii-ichlet avec le problème que nous avons énoncé au début de ce paragraphe, et que nous nommerons le problème intérieur de Green. De la même manière, on peut montrer l'exacte équivalence du problème extérieur de Diricblet avec le problème extérieur de Green, que nous énoncerons de la manière suivante :
Un espace linéairement connexe illimité est extérieur à une certaine surface fermée S i^fig. 24)1 à connexion simple ou
W^çc.y, ■A/)
multiple; on donne un point /î^e Mo(^05 ^o? z-o): faisant partie de cet espace.
riIAP. VI. — LA FONCTION DE GREEN. IJI
Soit M(;r, jKi ^) un point variable du même espace et soit r la distance MMo-
On demande de tromper une fonction (j{x^y, z) qui vérifie les conditions suivantes :
i" La fonction G(:r, y, z) — - est harmonique dans tout
l'espace considéré.
2° Lorsque la distance R du point M à V origine des coordonnées croit au delà de toute limite, les quantités RG,
R2 -— j R2 -- , R- -T- demeurent finies.
ox oy oz ^
3° Soit\ une fonction harmonique dans V espace considéré, telle que les quantités RV, R- — ■> R- -;- » R- -pi demeurent finies lorsque R croit au delà de toute limite; soit Vo sa valeur au point Mq.
On a
]Nj étant la normale à Vêlement dS vers ^intérieur de l'espace considéré.
Le problème extérieur donne prise aux mêmes remarques que le problème intérieur; une seule différence est à signaler : tandis que la solution du problème intérieur est déterminée seulement à une constante près, la solution du problème extérieur est entièrement déterminée, puisque, à l'infini, G prend la valeur o.
§ 2. — Propriété fondamentale de la fonction de Green.
Riemann ('), qui a montré l'équivalence du problème de Green et du problème de Dirichlet, a démontré une importante propriété de la fonction de Green, propriété que Green (-) avait énoncée.
Considérons une su? face S (fig. 25); dans son intérieur, deux points fixes Mq(xo, yo, So), M'„(:r'„, jk'o, -s'o) ^^ "'^ point
(') RiÉMANN', Schwere, Elektricitàt und Magnetismus, bearbeitet von Hatten- ^Of'ffy P- 142; Hanovre, 1876.
(') G. Green, Essay..., Art. G {Green' s Mathematical Papers, p. 36).
mobile M(^, y, z). Soient G(.r, jk, z) la fonction de Green qui a son pôle en Mo et G'(^, j', z) la fonction de Green qui a son
Fig. 25.
pôle en M'^. Ces deux fonctions peuvent être prises telles que
(6) G(a7'o,yo,z;) = G'(^o, JKo, so).
Soient r et /■' les distances du point M au point Mq et au point M'(,. Nous pouvons prendre
G {oc, y, z)= - r {x,y, z),
les deux fonctions r et F' étant harmoniques en tout point intérieur à la surface S, et égales réciproquement à ■> -,i sur la surface S ; il suffît évidemment de prouver l'identité
{'obis) r(^o> Xo' -0) = r'(^o, JKo, -3o).
Or on a, d'après la définition des fonctions G et G',
4 ^r {x\ , jk'o , z'o) = ^r -^ds,
dG
Ces égalités donnent aisément
4Tt[r(a7'o, jKo, -0) — r;(a7o, jo, ^o)J
^■Kr'{xo,yo, ^0) = S r'
dN,
dS.
èl
Les fonctions F et F' étant harmoniques à l'intérieur de l'es-
