CHAP. VI. — L\ FONCTION DE GREEN

pace que limite la surface S, on a, d'après le théorème de Green,

àV

dS = G.

Ces fonctions F et F' se réduisant à et ; sur la surface S,

l'égalité (d) devient

{e) 4TT[r(a7'o,yo>-o)-r'(^o,ro,-o)] = Sg\p dN]~7 wj ^^'

Pour calculer le second membre , traçons deux surfaces sphériques, T et <j', ayant respectivement pour centres les points Mq et M'^, et des rayons R et R' assez petits pour que ces sphères soient intérieures

à la surface S et extérieures l'une à l'autre. Les deux fonctions - et

~, étant harmoniques dans l'espace compris entre les surfaces S,

a-, 0-', si l'on désigne par v^-, v'^ les normales aux éléments «io-, dy, vers l'intérieur de cet espace, l'identité de Green donnera

Ceci a lieu quels que soient les rayons R et R'. Faisons-les tendre vers o, et nous verrons aisément, par un raisonnement analogue à celui qui a permis d'établir l'identité (5), que nous aurons

L kJ<j' \ '•' à^n r à^> 'i J J R' = 0

Mo M'/

L'identité (/) devient donc

Ss\^5^""7-dN;y^^ = «

Ce résultat, reporté dans l'identité [cl), fournit de suite l'identité (6 bis) que nous voulions démontrer.

L'identité (6) peut se traduire d'une autre manière.

SoitY(^, jKî ^1 ^'ly'i ^') mie fonction telle que

T(-^' J- -2, ^0, JKo, ^o) = r(a^, 7, z),

Posons ensuite

[{x'-xy^+iy-yy+iz'-zn-^

11 est aisé de voir que nous aurons

g(x, y, z, xo, yo, -o) = G{x,y, z), gix,y, z, x\,y'ç,,z'f,) :- G'{T,y,z),

et que, par conséquent, cette fonction g de six variables définit toutes les fonctions de Green qui ont leur pôle à l'intérieur de l'espace considéré.

L'identité (6) peut s'écrire

^(^ô,yo)-o> ^0, JKo, -So) = 5^(^0,70,-0, a?;, jk'o, z'q).

En d'autres termes, elle exprime que la fonction g est symétrique en X, y, z et a;', y', z'.

§. 3 — Détermination de la fonction de Green dans quelques cas simples.

Le problème de Green étant rigoureusement équivalent au problème de Dirichlet, la solution de l'un n'est pas plus facile que celle de l'autre. Toutefois, le changement de forme imposé au problème permet, dans certains cas, d'en apercevoir immédiatement la solution. Nous allons en donner quelques exemples simples.

1° La fonction de Green pour la sphère.

Prenons une surface sphérique {fig- 26) et un pôle Mo intérieur à la surface sphérique. Soit AB le diamètre qui passe par Mq. Sur ce diamètre prenons le point M^ conjugué harmonique