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et la fonction de Green sera encore donnée par la formule (7).

La fonction de Green étant connue en toute circonstance pour la sphère, on saura résoudre le problème de Dirichlet aussi bien

pour l'espace extérieur à la sphère que pour l'espace intérieur.

La solution du problème de Lejevine-Dirichlet pour la sphère a été en effet donnée à l'origine de la Physique mathématique, par les travaux de Legendre et de Laplace (').

Prenons, pour représenter la position d'un point dans l'espace, les coordonnées géographiques r, 9, cp. Lorsque l'on se donne la valeur de la fonction V sur la surface et que cette fonction est harmonique à l'intérieur de la sphère, elle s'exprime à l'intérieur de la sphère par une série de la forme

V = Yo + /-Yi -H r^Y.-^. . . -i- /-«Y,» -+-. . . .

Lorsqu'elle est harmonique à l'extérieur de la sphère, elle s'exprime dans l'espace extérieur à la sphère par une série de la forme

Y„ étant une fonction homogène et de degré n des quantités cos8, sinOcoscp, sinOsin^, renfermant (a/^-f-i) coefficients que déterminent les valeurs de V à la surface de la sphère.

Nous ne faisons qu'indiquer brièvement ce résultat sans insister sur les importantes propriétés des fonctions Yn de Laplace (- ) ou fonctions sphériques, fonctions qui ont joué un grand rôle dans les recherches de Laplace sur la Mécanique céleste et dans

( ' ) Cette forme de développement, obtenue par Laplace, est une conséquence très particulière de la proposition suivante :

Toute fonction Y, harmonique à l'intérieur d'un espace connexe, peut, d'une infinité de manières, à l'intérieur de cet espace, se mettre sous la forme

P„ étant un polynôme de degré n en x,y, z, satisfaisant à l'équation