CHAPITRE Yll

TRANSFORMATION DE L'EQUATION AV=: o EN COORDONNEES ORTHOGONALES QUELCONQUES.— DISTRIBUTION ÉLECTRIQUE SUR UN ELLIPSOÏDE.

§ 1 . — Transformation de l'équation AV = o en coordonnées orthogonales

quelconques.

Nous venons de voir comment, dans certains cas, on pouvait apercevoir, a priori, la forme de la fonction de Green, et, par consé- (juent, résoudre le problème de Dirichlet. Mais ce sont là des cas exceptionnels.

Une puissante méthode pour la recherche de la solution du problème de Dirichlet dans un certain nombre de cas consiste à remplacer les coordonnées cartésiennes rectangulaires qui servent à définir un point dans l'espace que l'on considère par des coordonnées curvilignes orthogonales convenablement choisies. L'équation aux dérivées partielles

AV = o

se transforme alors en une autre équation aux dérivées partielles dont l'intégration peut se laisser découvrir beaucoup plus aisément.

Cette méthode a été créée par Lamé (') qui en a fait grand usage dans ses travaux (2) et en a tiré de magnifiques résultats. Après Lamé, on doit citer Jacobi (^) au premier rang de ceux qui ont traité d'une semblable transformation en général.

Soient u^ v^ w les coordonnées curvilignes d'un point ayant pour coordonnées cartésiennes x^ y, z. Le changement de coor-

( ' ) Lamé, Mémoire sur les sur/aces isothermes. . . {Journal de Liouville, t. II, p. 147; 1837).

(^) Voir, particulièrement, Lamé, Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications ; Paris, iSSg.

(') Jacobi, Ueber eine particulare Losung der partiellen Differentialgleichung AV — 0 {C relie' s Journal, Bd XXXVI, p. ii3).

TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION AV = O.

données est défini par les équations

/ X—f (UjV, w),

(lui donnent

/ , dx , dx , dx ,

ax = '^- du + -~ dv -h -— dw, ou ov dw

ày

ôw

, dz j àz j àz ,

dz = -:— du -i- -- dv -h ^-— dtv, ou ov dw

et, par conséquent,

dx^ -H dy^ -H dz'^ =

dxy

dît)

du) J

/dx dx dy dy dz dz\ , ,

^ i ^ i, r V- -r -r— ] dv dw

\dv dw dv dw dv dw '

Soient

l (x -h- dx,y -+- dy, z -r- dz), ( M 4- du, V -t- dv, w -+- dw)

deux points infiniment voisins.

La droite MM' est la diagonale d'un parallélépipède {Jig. 29)

dont les sommets autres que M et M' ont pour coordonnées cur-

l82 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

vilignes,

A(a-i- du, V, w), A' (if, v -+- dv, w -h dw),

B{u,v->rdv, w), Ji^u^ du,v, w -\- dw). C{u,v, w -T- dw), G'(w -h du, v ■+- dv, w).

Les longueurs des arêtes de ce parallélépipède sont données par les relations

On a d'ailleurs

( 5 ) mm'' = dx"^ -4- f/j2 + dz^.

Si les coordonnées curvilignes considérées sont orthogonales, le petit parallélépipède considéré doit être un parallélépipède rectangle. On doit donc avoir

MM ' = MÂ^ -f- MB^ + MC' ;

et cela quels que soient du, dv^ dw. Si l'on rapproche ce résultat des égalités (3), (4) et (5), on voit que,/?oi<7- que le système de coordonnées curvilignes soit orthogonal, il faut que l'on ait les relations

dx dx dy dy dz dz

dv dw dv dw dv dw '

,„, 1 dx dx dy dy dz dz

' dw du dw du dw du

dx dx dy dy dz dz

du dv du dv du dv

Nous allons montrer que, réciproquement, si ces relations (6) sont vérifiées, le système de coordonnées curvilignes est orthogonal.

Posons en effet, suivant la notation de Lamé,

TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION AV = O. i83

L'égalité (3) deviendra

( 8 ) dx^ -^ dy^- -^ dz^- =^ II^ du"^ + H \ dv'^ -i- H | dw^.

Convenons que les quantités H, H,, Ho définies par les égalités ['j) sont essentiellement positives, et écrivons les égalités (2) sous la forme

, i dx ^j , i dx .. j I ^•^ Ti j

dx = ^ -T— H rfjf -f- -p -^ Hi at^ -t- 77- -r- "2 dw,

H du Hi dv H2 ow

(9) \dy=^^-f\ldu---~^-fn,di>-^^^n^dw,

i dz i dz j dz

dz — yj -^— ti du -\- T. ^ "1 dv -t- TT — ;: — "2 dw.

\ H ou lli ov Hj aw

Dans ces égalités (9), les coefficients de Hdii^ H, û?p, H2 âfw, vérifient, comme le montrent les égalités (6) et (7), les mêmes relations que les coefficients d'un changement de coordonnées rectilignes et rectangulaires. H<iw, îlidv, îl^dw sont donc les coordonnées du point qui avait pour coordonnées dans le premier système d'axes dx, dy, dz, ce point étant rapporté à un nouveau système qui a pour origine le point {x,y, z) et dont les axes sont définis :

Le premier par dv =^ o, dw = o ;

Le second par dw=-o, da = o] '

Le troisième par du =^ o, dv =0.

Le premier est tangent en i^x, y, z) à l'intersection des surfaces

V = const., w = const.

Le second est tangent en (x, y, z) à l'intersection des surfaces

tv = const., a = const.

Le troisième est tangent en [x, y, z) à l'intersection des surfaces

M = const., p = const.

Les trois surfaces

u = const., V = const., w = const.,

qui passent par le point (x, y, z), se coupent donc orthogonalement comme nous l'avions annoncé.

l84 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICIILET.

La transformation représentée par les égalités (9) peut encore s'écrire sous la forme

H du = li -— dx -1- H T- dy -

dx dy -^

IIi di> = Hj -r~ dx -{-ïîi-— dy -i ' dx ày -^

.T J TI ^^'^ J TT ^"^ 7 TT à^ J

H2 dw = H, -— dx -+- H, -7- dy -+- Ho -r- dz ;

' dx ày -^ dz

les coefficients de cette nouvelle transformation doivent encore vérifier les mêmes relations que les coefficients d'un changement d'axes rectilignes et rectangulaires, en sorte qu'au lieu des relations (6) et (i^), on peut écrire les relations

(fi bis)

' àv dx

div dx

dv dw dv dy dy dz

dw dx

du dx

dw du dw

dy dy dz

Tz = '''

. dx

dv dx

du dv du

dy dy dz

duy /duy /'^«V

dx) '^[dyj ^\dz) '

Hf =

dvy / dvy

dx) ^\ày) '