KS

dwy /dw\' / dw\-

Appliquons ces propriétés de la transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées curvilignes orthogonales à la recherche de la forme que prend l'équation

AV=-o

dans le nouveau système de coordonnées.

Pour qu'en tout point d'un espace où la fonction V est régulière, on ait

AV = o,

il faut et il suffit que l'intégrale

TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION AV = O. i85

étendue à la surface qui limite vin élément de volume quelconque de cet espace soit égale à o.

dY

Écrivons donc l'égalité

dNi

dS

pour le parallélépipède rectangle MABCA'B'C'M'. L'élément superficiel MBA'C a pour aire

M B A'C =: MB X MG = H, Hg dv dw.

Pour ce même élément, la direction N/ coïncide avec MA. On a

donc

dY V(A) — V(M) Wi ~ MA

D'ailleurSj

V(A) — V(M)= ^^du.

du

MA = H du.

On a donc, pour l'élément MBA'C,

-— — db = — ,-f r- du dw.

dNi H du

Pour l'élément M'B'AC, on aura

dNi L H du du \ H du/ J

Ces deux éléments fourniront donc à la somme considérée le

terme

d /HiH, dY\ j -,

du dv dw .

du \ W du On trouvera ainsi l'égalité

o dN,- Ldi< V H du) dv \ Hj t^t^ / dw \ H2 <?"''/ J

Pour que AV soit égal à o en tous les points de l'espace considéré, il faut et il suffît que l'on ait, en tous les points de cet espace,

' du\ n du)^ dv\ }^ dv)^ àw\ni dw ) ~ ^' Si l'on a eu soin d'exprimer H, H,, Ho en fonction de it, ç, w^

l86 l.lVRIj; II. — DISTRIBUTION ET PROBLIÏME DE DIRICULET.

cette équation devient une relation entre les dérivées premières du premier et du second ordre de V par rapport k u, v, w, équivalente, dans le nouveau système de coordonnées orthogonales, à l'équation AV = o dans l'ancien.

Cela étant, supposons que l'on veuille trouver une fonction harmonique dans l'espace limité par la surface S que représente l'équation

et prenant sur cette surface les mêmes valeurs que la fonction

On remplace ^, y, z par des coordonnées curvilignes orthogonales Uj Vj w. La surface S est, dans ce nouveau système de coordonnées, représentée par l'équation

<ï>(ii, (>, w) = o.

Si l'on remplace x^ y, z par leurs expressions en w, v^ (P, la fonction /"(^, y-, z) se transforme en une fonction ^{ii, v, w).

Si l'on sait trouver une fonction de u, f , w qui vérifie l'équation (lo) dans l'espace limité par la surface

et qui, sur cette surface, prenne les mêmes valeurs que la fonction ç(«,p, pp); il suffira, dans cette fonction, de remplacer u, ç, w par leurs expressions en fonction de x, y^ z^ pour obtenir la fonction cherchée.

Nous avons dit que cette transformation du problème de Dirichlet s'était montrée extrêmement féconde en résultats.

§ 2. — Transformation de l'équation AV = o en coordonnées géographiques et en coordonnées elliptiques.

Nous allons, à titre d'exemples, appliquer ce que nous venons de dire à la transformation de l'équation AV = o en deux systèmes particuliers de coordonnées orthogonales.

Considérons d'abord les coordonnées géographiques p, 9, o. Les formules de transformation sont

X = Ç) cos6,

y =^ p sinô coscf,

^ = p sinG sin o.

TRANSFORMATION DE l'ÉQVATION AV = O. 187

On a alors

L'équation (lo) devient donc

^") d-p (p'^'"^ d^j -^ dô (^''^^ âôj -" 5^ (ii^ -d^) = ^'

ou bien, en posant

CCS 6 = [JL,

Cette équation, transformée de l'équation AV=o, est due à Laplace; c'est même sous cette forme que Laplace (') a fait tout d'abord connaître l'équation qui porte son nom. Cette équation est le fondement de toute la théorie des fonctions de Laplace, qui permettent, par des développements en série, de résoudre le problème de Dirichlet pour chacun des deux espaces limités par une surface sphérique.

Considérons maintenant le cas des coordonnées elliptiques.

Les fonctions u, v, w sont, dans ce cas, les trois racines de l'équation