LA MÉTHODE DE M. CARL NEUMANN

§ 1. — Le théorème de M. Vito Volterra.

La démonstration de Lejeune-Dirichlet ne permet pas d'affirmer avec une entière certitude que le problème auquel on a donné le nom de ce géomètre admette, dans tous les cas possibles, une solution. Cette démonstration a seulement pour effet de remplacer l'hjpothèse que ce problème admet une solution par d'autres hypothèses plus vraisemblables peut-être, quoique aussi peu démontrées.

Green a posé le même problème sous une autre forme, mais sans en faire avancer la solution.

Ainsi donc, bien loin de posséder une méthode générale pour résoudre le problème de Dirichlet, on ne sait même pas démontrer l'existence générale d'une solution de ce problème.

Force est donc de chercher à le résoudre dans des cas particuliers.

Il existe un nombre très restreint de cas particuliers pour lesquels le problème de Dirichlet puisse être immédiatement résolu (Chap. VI).

L'emploi de coordonnées curvilignes orthogonales appropriées a permis à Lamé et à d'autres géomètres d'étendre considérablement le nombre des cas où il est possible de résoudre le problème de Dirichlet. Ces méthodes, toutefois, ne se sont guère montrées fécondes jusqu'ici que pour les surfaces qui font partie d'un système de coordonnées curvilignes orthogonales et isothermes (Chap. VII).

La méthode de l'inversion, créée par Sir W. Thomson, a grandement accru le nombre des cas où l'on sait résoudre le problème de Dirichlet ; mais la puissance de cette méthode ne peut être partagée par aucune autre méthode de transformation, comme l'a montré M. P. Painlevé (Chap. VIII).