CHAP. IX.. — LA METHODE DE M. CAHL NEUMAXN

Les efforts dont nous venons de retracer le tableau permettent donc seulement de résoudre le problème de Dirichlet pour des classes particulières de surfaces, classes très étendues, il est vrai.

Les méthodes que nous allons maintenant exposer se distinguent profondément des précédentes, en ce que les corps auxquels elles s'appliquent sont tenus non pas d'appartenir à certaines classes, mais seulement de vérifier certaines restrictions. Elles ont donc une portée infiniment plus générale que celles que nous avons exposées jusqu'ici.

Elles ont, il est vrai, un désavantage sur les précédentes.

Pour résoudre le problème de Lejeunc-Dirichletpour la sphère, pour l'ellipsoïde, etc., les méthodes que nous avons indiquées conduisent ou bien à intégrer sur toute la surface une combinaison analytique où figure la fonction donnée sur cette surface ; ou bien à déterminer, au moyen des valeurs connues, que la fonction cherchée prend sur la surface les coefficients d'un certain développement en série. L'emploi effectif de ces méthodes donne lieu à des calculs pénibles, mais cependant praticables. Ainsi les développements en séries de fonctions sphériques qui servent à résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace intérieur ou extérieur à une sphère donnent prise au calcul numérique en Mécanique céleste et dans l'étude du Magnétisme terrestre.

Il en est autrement pour les méthodes que nous allons exposer.

Ces méthodes conduisent à représenter la fonction cherchée par une série d'intégrales étendues à la surface donnée. Seule, la première de ces intégrales dépend directement des valeurs données sur la surface. Chacune des autres exige, povir être effectuée, que l'on connaisse celle qui la précède.

Un semblable procédé échappe sans doute à tout calcul numérique. Par là, il perd tout intérêt pratique ; mais il n'en garde pas moins un grand intérêt théorique, car il démontre, sans contestation possible, l'existence d'une solution du problème de Dirichlet pour les classes étendues de surfaces auxquelles il s'applique.

Une méthode, inventée en i833 par Muiphy (') pour traiter les problèmes de l'influence électrique, a donné la première idée de

( ' ) MuRPHY, Elementary principles of the théories of clectricity, heai, and inolecular actions^ Pari, l, Cliap. V, p. gS; i833.

■i-Vl I.IVIŒ 11. — DISTUlHliTION lîT PnOBLbME Olî UlRICIILET.

cette classe de procédés. Cette idée fut poussée plus avant par Béer (') en i856. Mais c'est à M. CarlNeumann (-) que l'on doit d'avoir montré la légitimité de semblables procédés.

La convergence des séries employées peut toujours être démontrée au moyen d'un théorème fondamental qui, implicitement renfermé dans les travaux de M. Schwarz et de M. Cari Neumann, semble avoir été énoncé pour la première fois par M. Vito Volterra (•'). M. Axel Harnack ('') et M. Paul Painlevé (^) ont insisté sur le rôle que ce théorème doit jouer dans l'étude des fonctions harmoniques de deux ou de trois variables.

Voici l'énoncé de ce théorème :

Soient Vt, Uo, •••, U«, ... une suite illimitée de fonctions harmoniques à l'intérieur d'un certain espace E limité par une surface S. Soient Ut, u^-, ••., Un, ... les valeurs vers lesquelles tendent ces fonctions lorsque le point auquel elles se l'apportent tend vers la sut face S. Si la série

(l) Ui-\- ll^-T-. . .^ U,i-\- ■ - ■

converge uniformément en tout point de la surface S, la série

converge uniformément en tout point de V espace E et représente^ en tout point de cet espace, une fonction harmonique.

Démontrons d'abord que la série (2) converge uniformément dans l'espace E.

(') BTÊ.Y.B., Allgemeine Méthode zur Bestinimun g cler elektrischen und inagnetischen Induction {Poggendoff's Annalen, B. XCVIII, p. 187; 1806).

(^) C. Neumann, Untersuchungen ûber das logarithmische und Newton'sche Potential (Leipzig, 1876).

(') Vito Volterra, Sopra alcune condizioni caratteristiche délie funzioni di una variabile complessa {Annali di Matematica, série II, t. XI, p. Sa: 1882).

(') Axel Harnack, Die Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potentiales un der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene, § 20; Leipzig, 1887,

{') Paul Painlevé, Sur les lignes singulières des fonctions analytiques ( Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, l. II, p. B. i5; 1887).

ClIAP. IX. — LA MÉTHODE DE M. C.VRL NEUMANN. 223

Envisageons la fonction

Il s'agit de prouver que l'on peut toujours prendre n assez grand pour que l'on ait, quel que soit p,

l*«pl<^,

î étant un nombre positif quelconque donné d'avance.

Or, la série (ij étant uniformément convergente, si l'on pose

on pourra toujours prendre n assez grand pour que l'on ait, quel que soit/?,

D'autre part, la quantité ^np, somme d'un nombre limité de fonctions harmoniques dans l'espace E, est une fonction harmonique dans l'espace E. Les valeurs qu'elle prend dans l'espace E sont, d'après le théorème général de M. Cari Neumann (Livre II, Chap. III), comprises entre deux des valeurs qu'elle prend sur la surface S. Sur la surface S elle devient identique à cp . Si donc, en tout point de la surface S, on a

I ?«p I < ', quel que soit/?, on aura, en tout point de l'espaceE,

l'^npKh

quel que soit/?.

Soit donc

V = Ui-+-U2H-...+ U„^...

la fonction continue dont l'existence est maintenant démontrée. Il s'agit de prouver que cette fonction est harmonique en tout point intérieur à l'espace E.

Soit M un point intérieur à l'espace E. Prenons-le à l'intérieur d'une sphère S en entier contenue dans E. Soit G(M) la fonction de Green pour le point M et la sphère S, fonction qui est connue (voir Chap. VI).

Posons

224 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICllLET.

La fonction W« étant évidemment harmonique à l'intérieur de la sphère S, sa valeur en tout point M intérieur à la sphère sera donnée par

Celte égalité peut s'écrire

Le premier membre ne dépend pas de n ; d'autre part, on peut prendre n assez grand pour que R„, et par conséquent le second membre, soient aussi voisins de O que l'on voudra. L'égalité précédente ne peut donc subsister que si l'on a

La fonction V est, par conséquent, une fonction harmonique en tout point intérieur à la sphère S.

La fonction V est harmonique à l'intérieur de toute sphère contenue dans l'espace E ; ce qui revient à dire qu'elle est harmonique en tout point de l'espace E.

Notre théorème est ainsi démontré.

Ajoutons à ce théorème la proposition suivante :

Lorsque le point M de V espace E tend 'vers le point m de la surface S, la valeur V(M) que prend la série

au point M tend vers la valeur v[ni) que prend la série

Ml -+- Mo -I- . . . -1- M„ -t- . . .

au point m, et elle atteint cette valeur lorsque le point M vient au point m.

Pour le démontrer, posons

W',, — «1 -i- «2 -^ • • .+ «rt,

Nous pouvons prendz'e n assez grand pour que l'on ait, pour