LA METHODE DE M. CARL NEUMANN

loute position du point M dans l'espace E, et pour toute position (lu point m sur la surface S,

quelque voisin de o que soit e.

D'ailleurs, lorsque le point M tend vers le point m, U(, Uo,

\},i tendant respectivement vers w,, w., •••, w„, W« tend vers iv« . On peut donc, autour du point m, tracer dans l'espace E un domaine assez petit pour que, pour tout point M de ce domaine, on ait

On voit alors que, pour tout point de ce domaine, on aura

ce qui démontre la première partie de la proposition énoncée.

La série U, + U2 + . . . convergeant d'une manière uniforme, la seconde partie est alors évidente.

§ 2. — Le théorème de M. Axel Harnack.

Au théorème précédent, M. Axel Harnack (') a joint un théorème qui, dans l'ordre de questions qui nous occupe, est aussi dune continuelle application.

Ce théorème se démontre au moyen d'une proposition qui est la suivante :

Si une fonction V(M) est harmonique à Vintérieur d'un certain espace Yj et a le même signe en tous les points de cet espace, sa valeur au point variable M de cet espace s'obtient en multipliant sa valeur en un certain point fixe P de cet espace par un facteur cjui conserve une valeur finie pour tout point M de V espace E; un théorème analogue est applicable

( ' ) Axel Harnack, Existenz-Beweise zur Théorie des Potentiales in derEbene iiiid im Raume, § 1 {Berichte Uber die Verhandlungen der K. Sàchsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Matheniatisch-Physische Classe, 1886, p. i(\[)).—Die Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potentiales. . . , p. 67; Leipziï;, 1887.

aux dérivées partielles de tous les ordres de la fonction

Supposons d'abord que le point M puisse être compris à l'intérieur d'une sphère ayant pour centre le point P et contenue tout entière dans l'espace E.

D'après le théorème de la moyenne de Gauss, nous aurons, en désignant par R le rayon de cette sphère et par dH un élément de sa surface,

v(P) = — ^, Qvc^s.

D'autre part, si G (M) désigne la fonction de Green pour le point M intérieur à la sphère S, nous aurons

Le signe de V étant le même pour tous les points de la surface de la sphère, puisque tous ces points sont intérieurs à l'espace E, si l'on désigne par \ une valeur comprise entre la plus grande et

la plus petite des valeurs de —^ — ^ on aura

V(M)-=X Cv«;s = 47:XR2V(P).

Or il est facile de voir, en se reportant à l'expression de G(M)

donnée au L-hapitre VI, que — -^ — est toujours lini, pour tout

point M intérieur à la sphère ; il en est donc de même de )., et l'égalité précédente démontre la proposition énoncée.

11 peut arriver qu'aucune sphère ayant le point P pour centre et contenue en entier dans l'espace E ne puisse renfermer le point M à son intérieur. Alors, on prendra le point P pour centre d'une sphère S enfermée dans l'espace E ; un point P', intérieur à la sphère S, sera pris pour centre d'une nouvelle sphère S' contenue dans l'espace E ; en continuant de la sorte, on pourra toujours, après avoir construit un nombre limité de sphères, en trouver une qui renferme le point M à son intérieur. La démonstration de la proposition énoncée se fera alors de proche en proche sans difiî culte.

On démontrera sans peine que, si x, y, z désignent les coor-