HAP. IX. - L\ METHODE DE M. CARL NEUMANN

données du point M, les dérivées — ^ > —^ — - > — ^ — , — j-^ — > • • •

s'obtiennent en multipliant V(P) par des facteurs qui sont finis pour tout point M de l'espace E.

Ce lemme démontré, envisageons des fonctions en nombre

illimité

U,(M), U2(M), UaCM), ....

Supposons que chacune de ces fonctions soit harmonique à l'intérieur de V espace E et que chacune d'elles ait, dans tout cet espace, un signe constant qui soit le même pour toutes. Si la série

Ui(P) + U2(P)-i-U3(P) + ...

est convergente en un point quelconque P de V espace E, la

série

Ui(M)-4-U2(M)-+-U3(M)-i-...

converge uniformément en tout point de cet espace et représente, dans cet espace, une fonction harmonique.

D'après la proposition précédente, nous avons

dUi(M)

= [^iU,(P), )

= viUi(P),

\^, lo, ..., jx,, [Xo, ..., V,, V.

point M de l'espace E.

Nous aurons alors

. . étant des facteurs finis pour tout

= X«U«(P)+X„+iU„+i(P)-.-.

dx ôx

.a„U„(P)+[Ji„+iU„+,(P)

[^«+pU«+;,(P),

dx^ dx* " dx^

^hi+p^ ii+i>{^ )i

228 LIVRE II. — DISTRinUTION ET PROBLÈME DE DIRICIILin.

Mais les fonctions U,j(P), Un+i{^)j • • -, U/,^^(P) ont toutes le même signe. Si donc 4^ est un facteur fini compris entre la plus grande et la plus petite valeur de X^, \i^i, - • -, "^n+p '■, si de même OÏL est un facteur fini compris entre la plus grande et la plus petite des valeurs de [x„, p.„^,, . . ., [J-^+y? ; si enfin SIL est un facteur fini compris entre la plus grande et la plus petite des valeurs de v„,

on aura

U„(M)-hU„+i(M)

^U«+;,(M) ÔT

dx'^

Ces résultats obtenus, la démonstration du théorème énoncé s'achève sans aucune difficulté.

§ 3. — Quelques définitions.

Si l'on coupe une surface fermée par une droite quelconque, on peut obtenir comme intersection des points isolés les uns des autres et aussi des segments entiers de droite. Par exemple, si l'on considère la surface engendrée par la rotation de la ligne FABCD {fig. \o) dont le côté AF est perpendiculaire sur DF, une droite

quelconque la coupe en général en deux ou quatre points isolés ; à la droite AI correspondra comme intersection un segment ; à la droite AB, un segment AB et un point K, etc. Toutes les fois qu'en coupant la surface par une droite on obtiendra un ou plusieurs segments, on conviendra de ne compter comme points d'in-