CHAP. IX. — LA MÉTHODE DE M. CABL NEUMANN

tersection, pour chaque segment, que le point initial et le point final ; d'après cette convention, la droite AI coupera la surface en deux points seulement A et I ; la droite AB en trois points A, B, K. .... Dans ce qui suit, nous supposerons constamment qu'une surface fermée est coupée par une droite quelconque de l'espace en un nombre fini de points, dont le maximum est nécessairement pair et nous appellerons rang de la surface ce nombre maximum.

Les surfaces que nous étudierons spécialement sont les surfaces de second rang.

Nous admettrons que, sauf en certains points isolés ou le long de certaines lignes isolées, la surface étudiée admet un plan tangent variable d'un point à l'autre d'une manière continue. Il est facile de voir que, si la surface est de second rang, le plan tangent en chaque point laissera cette surface tout entière d'un même côté.

Aux points isolés où il n'existe pas de plan tangent, nous admettrons qu'il existe une nappe conique tangente ; si le long d'une ligne il n'existe pas de plan tangent, nous admettrons qu'en chaque point de cette ligne il existe un dièdre tangent.

Nous dirons qu'une surface, ouverte ou fermée, est mulliétoilée d^ ordre n lorsqu'il sera possible d'imaginer dans l'espace n points fixes tels que tout plan langent à la surface passe par l'un d'entre eux, mais lorsqu'en même temps il ne sera pas possible d'assigner moins de n points fixes jouissant de cette propriété.

Une surface uniétoilée se compose nécessairement d'une portion de cône et, par suite, est nécessairement ouverte. Comme exemples de surfaces fermées biétoilées, on peut citer le parallélépipède, l'octaèdre, le tétraèdre, la surface engendrée par la révolution d'un losange autour d'une de ses diagonales, etc. Dans cette dernière surface, les deux étoiles, c'est-à-dire les deux points fixes de la définition, sont les extrémités de la diagonale considérée ; dans le parallélépipède et l'octaèdre, les extrémités d'une diagonale quelconque ; dans le tétraèdre, un sommet quelconque et un point quelconque de la face opposée.

Les surfaces de deuxième rang non biétoilées possèdent une propriété que nous allons démontrer et qui nous sera utile par la suite.

23o LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

Prenons un point [jt. sur une semblable surface ; soit m un autre point variable de cette surface ; soit dS un élément environnant le point m ; soit N^ la normale à l'élément û?S vers l'intérieur de la surface S ; soit p la ligne m [ji. La quantité

n COs(p, Ne)^g

a une valeur donnée parle troisième lemme de Gauss; cette valeur est air si la surface S admet au point [x un plan tangent variable d'une manière continue ; si les tangentes en ce point forment une nappe conique d'ouverture sphérique a, elle a pour valeur a ; si, au point u, elle admet un dièdre tangent dont l'ouverture soit

-j elle a encore pour valeur a. On peut donc écrire, dans tous les

cas possibles.

Si l'on observe que, pour les surfaces considérées, cos(p,]N, n'est jamais négatif, on voit que l'on aura aussi

l'intégration s'étendant seulement à une portion o- de la surface S. Si p. et [jl' sont deux points quelconques, distincts ou confondus, de la surface S, et si celle-ci est divisée en deux portions <T, 0-', on aura

Scos(p, N,) ncos(p', N,)

Voici maintenant la proposition que nous allons démontrer :

Si la surface fermée de second rang S nJest pas hiétoilée, on peut toujours, pour cette surface, assigner une quantité positive 8 telle que l'on ait

§ 20s(p^ ^^ ^ g cos(p',N.J ^^,^^^

quelles que soient les positions des points pt. et jx' sur la surface S et de quelque manière que la surface S ait été divisée en deux segments a- et a-'.