CHAP. IX. — LA MÉTHODE DE M. CARL NEUMANN
Supposons d'abord que les deux points pi et p.' aient, sur la surface S, une position particulière déterminée. Il peut arriver que le point [x soit le sommet de quelque portion de surface conique contenue dans S, et qu'il en soit de même pour le point jx'. Soit S la surface partielle déduite de S en enlevant ces portions de surfaces coniques. S ne peut se réduire à rien, car il faudrait pour cela, si ^ et [x' coïncident, que la surface fût uniétoilée, et par suite ouverte ou illimitée; et, s'ils ne coïncident pas, qu'elle fût biétoilée, ce qui est contre l'hypothèse. D'ailleurs, sur toute l'étendue de S, les quantités cos(p. Ne), cos(p', N^.) sont certainement positives, sauf en certains points isolés ou le long de certaines lignes isolées. Gela posé, retranchons de S une surface S" telle que la portion restante S' ne se réduise pas à o, et qu'en aucun point de S', cos(p, N^) et cos(p', N^) ne soient égaux à o. Désignons par A la plus petite des valeurs que peuvent prendre sur S' les quantités cos(p. Ne) ei cos(p', Ne). Les quantités S' et A ne dépendent pas de la manière dont la surface S a été divisée en deux portions o- et o-' ; elles peuvent dépendre seulement de la position des points p. et jx'. Soient cr,, o-', les parties des segments <t, o-' que renferme la surface S". Soit enfin L la distance la plus grande de deux points de la surface S. Nous aurons évidemment
Scos(p, N^) , ^ AiT] ^i ^^'-TT'
Scosfp', Ne) , , ^ A(t', -"7^ — ^'^-i>'
inégalités qui donnent certainement
Scos(p,Ne) , n cos(p', N,)^^,^ Ar p2 "^ O p'2 - L2
Cette inégalité est établie en supposant que les deux points [x et a' aient une position donnée sur la surface S. Mais la quantité L a une valeur indépendante de la position des deux points jx et [x'. Il est d'ailleurs évident que l'on pourra toujours faire en sorte que les deux quantités A et S" ne descendent pas au-dessous d'une certaine limite. On pourra donc, quelles que soient les positions des deux points [x et jx' et les deux segments o-, <t', en les-
quels on peut décomposer la surface S, assigner une quantité positive B à laquelle la somme
gcos(p,N,)^^^gcos(p',N,)^^,
ne pourra jamais devenir inférieure.
Réunissons le résultat que nous venons d'obtenir à celui que nous avions précédemment obtenu; posons
et nous voyons que nous pourrons toujours écrire
\ désignant une constante positive, inférieure à limité.
Ces inégalités posées, nous allons aborder l'exposé d'une méthode qui permet de résoudre le problème de Dirichlet pour les deux espaces, extérieur et intérieur à une surface fermée, de second rang et non biétoilée.
Cette méthode, nommée Méthode de la moyenne arithmétique, a été communiquée par M. Cari Neumann, le 21 avril et le 3i octobre 1870, à l'Académie des Sciences de Saxe. Depuis, M. Cari Neumann (') l'a exposée sous forme didactique; cet exposé a été également donné par M. Riquier (-) et par M. Axel Harnack (•').
§ 4. — Définition et propriétés de la fonction fondamentale.
Soit V une fonction variable d'une manière continue aux divers points m d'une surface fermée S ; soit N^ la normale extérieure à cette surface ; soit /• la ligne qui va d'un point M de l'espace au point m. La méthode de M. Cari Neumann repose sur l'étude
( " ) Carl Neumann, Untersuchungen ûberdas logarithmische und Newton'sche Potential. Leipzig, 1877.
(") G. Riquier, Extension à l'hyperespace de la méthode de M. Carl Neumann pour la résolution de problèmes relatifs aux fonctions de variables réelles qui vérifient l'équation différentielle AF = 0. Thèse de doctorat. Paris,
( ' ) A. Harnack, Die Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potentials und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene. Leipzig, 1887.
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d'une fonction des coordonnées du point M, que nous nommerons \d, fonction fondamentale, et qui est définie par l'égalité
V cos(r, Ne)
Cette fonction est évidemment régulière tant dans l'espace extérieur à la surface S que dans l'espace intérieur ; d'ailleurs, comme on peut évidemment écrire
U= Vp cos(Ne, a;)- )- cos(Ne,jK) -' h- cos(Ne, ;î) —- h^S,
il est facile de voir que l'on a, tant à l'intérieur de la surface S qu'à l'extérieur de la surface S,
