AU

La fonction U est discontinue sur la surface S.

Prenons d'abord un point M/ intérieur à la surface S ; supposons

([ue ce point tende vers un point [jl de la surface S où U a la valeur u{^)-) et voyons vers quelle limite tend

U(M,)-«(ix).

Admettons d'abord qu'au point [x la surface S admette un plan tangent variable d'une manière continue.

La quantité v variant d'une manière continue au voisinage du point {X, on peut tracer autour de ce point un domaine D, découpant la surface S en deux segments, l'un a-, voisin du point [a, l'autre S, de telle manière que, pour tout point M/ du domaine D,

on ait

v(m)cos(r, Ng) , Q i>([i)cos(r, N^)

quelque petit que soit t.

D'ailleurs, le point [x étant à l'intérieur de ce domaine, si l'on désigne par p la ligne jjim, on aura aussi

Si'(m)cos(p, N^) ^^ __ O t^(^t)cos(p, Ng) , [ ^ s 0- ^ \^ e>'^ '^ 1^ 3 '

D'autre part, la quantité

[v(m) — v(ix)]cos(r, N^)

varie évidemment d'une manière continue, même lorsque le point M traverse la surface «t. On pourra donc, autour du point [jl, tracer un domaine d, contenu dans D, assez petit pour que, pour tout point Mj de ce domaine, on ait

Observons maintenant que l'on a

• u(Mf)-= Q vim)cos(r,'Ne) ^^ ; O p(m) cos(r, N^^ ^^

kj^y p2 kJv p2

que les lemmes de Gauss donnent (Livre I, Chap. IV, § 1)

kJ^ p2 ij^ p2

et nous trouverons que, pour tout point Mj du domaine f/, on a

I U(M,-) — w(^) — 27rp({x) I < £,

ou, ce qui revient au même,

(3) lim[U(M/) — m([ji)] = 2Trp([Ji).

Si, au point p., la surface S admettait une nappe conique tan-