CII/VP. IX. — LA MÉTHODE DE M. CARL NEUMANN
gente d'ouverture sphérique a, ou un dièdre tangent dont l'angle plan eût pour valeur -, on trouverait de même
(ibis) Iim[U(M/) — m((x)] = (4Tt — a)f ([x).
Supposons maintenant que le point M tende vers le point pi. en restant extérieur à la surface S. Nous aurons, dans le premier cas,
(4) lim[U(M<.) — ?<(|x)]== — 27Cf(fjt), et, dans le second,
(4 bis) Iim[U(Me) — u([>.)] =— ap([ji;.
Si les deux points M/, M^ tendent vers un même point de la surface S, l'un en restant intérieur à cette surface, l'autre en lui restant extérieur, on a, dans tous les cas,
(5) lim[U(M,)-U(Me)]-4Trp([x).
§ 5. — Définition et propriétés des fonctions subordonnées.
Soit '^{m) une quantité définie de la manière suivante : Si au point m la surface s admet un plan tangent unique variable d'une manière continue, on a '^{m) ^^ o. Si, au contraire, le point m est un point singulier, on a àÇm) = 2tz — a, a ajant le même sens que dans les formules (3 bis) et (4 bis). Posons
(6) ZTzv'(m) ^ u{jn) -^'b{m) -h v{m)
et
i>'(m) cos( r, N^)
rî
dS.
Cette égalité définit une fonction qui existe en tout point de l'espace, et que nous nommerons la fonction subordonnée de la fonction U(M).
Il est facile de voir, d'après les inégalités (3) et (3 bis), que l'on a
2Trf'(/n) — lim[U(M,-)] — 7.Tzv(m).
La fonction subordonnée est donc une quantité variable d'une manière continue sur la surface S. Aussi la fonction U'(JVl), définie par l'égalité (7), est-elle une fonction de tout point analogue
à la fonction U(M) définie par l'égalité (2). Elle est harmonique dans tout Fespace, sauf sur la surface S. Elle est discontinue sur cette surface ; si w'(a) désigne la valeur qu'elle prend au point [a de cette surface, on a
De même que l'on a formé la fonction subordonnée U'(M) de la fonction U(M), on peut former la fonction subordonnée intérieure U"(M) de la fonction U'(M), On aura alors un moyen régulier de former une suite illimitée de fonctions comme l'indique le Tableavi suivant :
v(tn)cos(r\ Ng) r2
iT.v" (m) — u' (m)-\-'\i(77i)v' (m), 2Tzv"'(m) — u"{m)-h'\i{m)o" (m),
Il est facile de voir, par les égalités (3 bis), (8) et les égalités analogues, que l'on peut écrire
1' lim[U (M,-)] =2t:[p ( [jl)-^p' ([x)J,
Iim[U'(M,)]-27i[p'(»-4-(."(fx)].
Mim[U"(MO] - ■27r[p"(!x) + p"'([Ji)],
D'autre part, d'après les égalités (4 bis), (8) et les égalités analogues, on peut écrire
( liin[U (Me)] = 27r[p'([a)-P (fji)], lim[U'(M,)]==27r[p"(jx)-(>'(|x)], lim[U"(M,)]-27r[p"'([Ji)-(^"([x)],
