CUAP. IX. — LA MÉTHODE DE M. CARL NEUMANN

prend v(ni) sur la surface S ; si u. et jjt,' sont deux points quelconques de la surface S, on a toujours

X étant le facteur qui figure dans l'inégalité (i).

Soit M la moyenne arithmétique des deux quantités G, H,

Divisons la surface S en deux régions : l'une u, dans laquelle v{ni) a en tout point une valeur égale ou supérieure à M, l'autre n' dans laquelle v[m) a en tout point une valeur inférieure à ]M.

La définition de (^'(p-) nous donne

v{m.) oos(p, N,.) On en déduit aisément

2TrP([^)^tj;(|x)G-^ G|^ û?cr-+-M|^ ^^ rfî ,

i-KV {]x) l'i^{]x)l{ + M V ^ â?c; -1- H V — ^ — — di .

Ces inégalités peuvent encore s'écrire

.X.V) s G [« „ .- s ïîîitlî* rfs] + (M - G ) S ^^^ rf,',

Mais on a, d'après le troisième lemme de Gauss,

et nos égalités deviennent

2'irç' ([ji)^2TrG-i-(M — G)V —^ «a ,

Sco<; f 0, îV,.') ^ -^ ^g P

ou enfin

,/ ,< r Tt — H n cos(p, Ne) , 2Trp'(fi)5 2TcG Y~\!S p2 ■

27rp'([i)â2TrHH ^ — [^

G — TI n cosro,^^^)

rfc

On peut, pour ç'(u.'), trouver deux inégalités analogues. On en déduira

ou bien, en vertu de l'inégalité (i),

ce qui est l'inégalité annoncée.

Soient, en particulier. G' la plus grande et H' la plus petite des valeurs que prendra ç'(m) sur la surface S ; on aura

iG'—U')<'k(G — U).

Si G, G', G", G"', . . . sont les plus grandes valeurs et H, H', H", H'", . . . les plus petites valeurs que prennent les fonctions

v{m), v'{m)^ t'"(m), v"'(m), ... sur la surface S, on aura