IV

ce qui entraine

Enfin, comme les quantités

ne peuvent jamais être négatives pour une surface de second rang, les inégalités (9) donnent

G^p'(m)^H, et, de même,

ou, en d'autres termes,

(VI) G^p(«)(»î)^H,

quel que soit n.

Des inégalités (V) et (VI) on déduit immédiatement le résultat que voici :

CHAI'. IX. — LA MÉTHODE DE M. CARL NEUMANN. %Sg

Il existe une constante G telle que Von ait

(VII) |t^(«)(m)— G|<X«(G — H),

quel que soit n.

§ 6. — Solution du problème de Dirichlet pour l'espace intérieur à une surface de second rang non biétoilée.

Ces préliminaires établis, considérons la série

(lo) [p(m) — v'{m)\ -\- {v\m) — v" {m)] 4- {v"{m) — v"'{m)\ 4-. . . dont le terme de rang (/i 4- i ) est

Il est facile de voir, par l'inégalité (VII), que l'on a

en sorte que cette série (lo) est uniformément convergente.

Il est facile d'en trouver la somme ; la somme des n premiers termes de cette série est en effet

et, lorsque n croît au delà de toute limite, cette quantité tend vers

Il est d'ailleurs facile de voir que si, dans la série (lo), on groupe les termes deux par deux, on obtient une nouvelle série qui converge uniformément et a même somme que la série (lo).

La série

(lo bis)

\[v{m)-v'{m)]^[v'{m)~v" (m)]j + \{v"{m) — v"'{m)\ + [v"\m) — v'" {in)\\ -f-. . .

converge donc uniformément et a pour somme

Considérons maintenant la série

Chacun de ses termes est une fonction harmonique à l'intérieur de la surface S. Lorsque le point M, tend vers un point de la sur-

24o L[VRE II. — DISTRIBUTION KT PROBLÈME DE DIRICHLET.

face S, chacun des termes de la série (ii) tend, d'après les égalités (II), vers le terme correspondant de la série (lo bis). Ainsi, d'après le théorème de M. Vito Volterra, cette série (ii) représente une fonction harmonique à l'intérieur de la surface S prenant la valeur [i-'{m) — C] sur la surface S, et tendant d'une manière continue vers cette valeur lorsque le point Mj tend vers le point M.

Si donc on veut former une fonction harmonique à V intérieur de la surface S, continue j us qu^ à la surface S et prenant en tout point m de cette surface une valeur donnée v{ni), on formera les fonctions ^' (m), <,>"{m), . . ., U, U', L", . . ., diaprés les règles indiquées au tableau (I); on cherchera la constante C, limite des valeurs des quantités i^{m), v'{m), ç"{m), ...et la fonction cherchée sera donnée par la série

(VIII) j V(M,) = C+^|[U(M,)-U'(M,)] + [U" (M,,-IJ"'(M,)]

Le problème de Dirichlet est ainsi résolu pour l'espace intérieur à toute surface de second rang non biétoilée.

§ 7. — Solution du problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à une surface de second rang non biétoilée.

On peut aussi résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à une surface de second rang non biétoilée ; mais la solution présente quelques complications qui ne s'offraient pas dans le problème précédent.

Soit w{m,) l'ensemble des valeurs données sur la surface S. Plaçons à l'intérieur de cette surface, en un point arbitrairement choisi, une charge électrique k. Au point m de la surface S, la fonction potentielle de cette charge prend la valeur q(^m). Posons

\>{}n) =■ iv{ni) -\- q{}n),

et formons la fonction U et les fonctions subordonnées comme l'indique le tableau (I).

La fonction v{m) est la somme d'une fonction w(^ni), indépendante de A, et d'une fonction q{m'), proportionnelle à k ; elle est donc fonction linéaire de k. On verra sans peine qu'il en