CHAP. II. — LA FONCTION POTENTIELLE HORS DES CHARGES

et, en remarquant que q^ q\ q" ^ . . . sont des quantités indépendantes de x^ y, Zj

La quantité V, dont les dérivées partielles font ainsi connaître les composantes de l'action R exercée au point M, chargé d'une unité d'électricité, par les charges q, q', q", . . . , placées aux points A, A', A", . . . , a reçu le nom de fonction potentielle au point M des charges réparties aux points A, A', A", ....

On peut, au moyen de la fonction potentielle, connaître la composante de la force R suivant une direction quelconque.

Soient a, b, c les angles que cette direction fait avec les trois axes de coordonnées et T la composante de la force R suivant cette direction. Si nous désignons par /, m, n les angles que la direction de la force R fait avec les axes de coordonnées et par G l'angle que la direction de la force R fait avec la direction donnée, nous aurons

CCS 6 = cosa cosl -\~ cosb ces m -+- cosc cos/i et

T = R cos6 = R cosl cosa -+- R cosm cosb -r- R cosn cosc. Mais

X = Rcos/, Y = Rcosm, Z = Rcosn.

Nous aurons donc

T = X cosa -r- Y cosô -f- Z cosc.

Menons par le point M une parallèle à la direction considérée. Désignons par s la distance du point M à une origine fixe prise sur cette droite, cette distance. étant comptée positivement si, pour aller de cette origine au point M, on marche dans la direction considérée. Soit M' un autre point, pris sur la même droite, à une distance (s -h ds) de l'origine. La fonction potentielle a, en ce point M', une

valeur V que nous représenterons par (V-h -r- ds). La quantité

-T- ainsi définie est ce que nous nommerons la dérivée de la fonction potentielle suivant la direction s.

lO LIVRE I. — LES FORCES ELECTROSTATIQUES.

/ dx \

Les coordonnées dvi point M' auront pour valeurs (x-{- ,~ dsV

nous aurons

dY dV dx dV dy d\ dz ~ds dx ds dy ds dz ds

Mais, d'autre part,

dx , dv dz

cosa = -,- > CCS 6 = - ,- j cosc= -.- >

«5 as ds

en sorte que, si, dans l'expression de T, nous remplaçons X, Y, Z par leurs valeurs (2), nous aurons

/dW dx àY dy , dY dz \àx ds dy ds ~^ dz ds ou bien

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que chacun des éléments de volume ou de surface que renferme le système était remplacé par un point de cet élément, et que la charge portée par cet élément était concentrée en ce point. Cette opération est toujours permise, pourvu que les éléments auxquels appartiennent les points A, A', A", . . . soient tous à distance finie du point M; ou, en d'autres lermes, que l'on puisse tracer autour du point M une surface fermée dont tous les points soient à une distance finie de M et qui ne renferme pas d'autre électricité que la charge égale de l'unité qui se trouve au point M. Si ces conditions sont remplies, nous dirons abréviativement que le point M est extérieur aux charges agissantes.

Dans ces conditions, il est aisé de voir que l'expression de la fonction potentielle au point M peut s'obtenir de la manière suivante :

Pour chacun des volumes électrisés que renferme le système, formons l'intégrale triple

fil da dh de,

p étant la densité électrique solide en un point de l'élément da dh de, et r la distance de ce point au point M [x, y, z).