CH.VP. IX. — I..\ MÉTHODE DE M. CARI. NEUMANN

est de même des fonctions v'{/n), v"{m), ..., en sorte que ces fonctions ont pour limite, L + PA", L et P étant deux constantes. Considérons maintenant la série

- — [U(Me) ■+■ U'(M,) -h U"(M,) 4- U"'(M,) - . . . J.

Chacun de ses termes est une fonction harmonique à l'extérieur de la surface S, se comportant à l'infini comme une fonction potentielle, et, d'après les égalités (III), lorsque le point M^ tend vers le point m de la surface S, chacun de ces termes tend d'une manière continue vers le terme correspondant de la série (lo).

Par conséquent, la série considérée représente une fonction harmonique dans tout l'espace extérieur à la surface S, se comportant à l'infini comme une fonction potentielle, prenant sur la surface S hi valeur

v{m) — G = iv(m) -^ q{/n) — L — P k

et tendant d'une manière continue vers cette valeur lorsque le point M^ tend vers le point m.

Ce résultat nous conduit sans aucune peine à la règle suivante :

Si l'on veut forme/' une fonction harmonique à V extérieur de la surface S, se comportant à V infini comme une fonction potentielle, continue jusqu'à la surface S et prenant en tout point m de cette surface une valeur donnée w(m), on opérera ainsi :

En un point O arbitrairement choisi à l'intérieur de la surface S, on placera une charge K dont la fonction potentielle prendra au point m la valeur q{ni). Posant

on formera le tableau (I).

Les fonctions v'{m), v"(m), ... tendront vers une limite de la forme

L + PK,

h et V étant deux constantes.

Dans les fonctions U, U', U", ..., on remplacerai par la valeur — ^- Si Von désigne par R la distance du point M,. au point O, et si l'on forme la fonction

(IX) V(M,)=^ • L[U(M,)-f-U'(M,) + U"('Me)H-...J, r ri air

elle résoudra le problème posé.

On voit donc que la méthode de M. Cari Neuinann permet, étant donnée une surface de second rang non biétoilée, de résoudre effectivement le problème de Dirichlet tant pour l'espace intérieur à cette surface que pour l'espace qui lui est extérieur. Il s'en faut bien que l'on ait ainsi la solution du problème de Dirichlet pour tous les cas possibles ; mais, du moins, en obtient-on la solution pour un cas infiniment plus étendu que tous ceux où l'on avait pu la donner jusqu'icM.

LA DISTRIBUTION NATURELLE. 9.f'i