LA DISTRIBUTION NATURELLE

§ 1. — Comment la solution du problème de Dirichlet pour tous les corps peut se ramener à la recherche de la distribution naturelle sur tous les corps.

Si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace intérieur à une certaine surface, on sait aussi le résoudre pour l'espace extérieur à la surface en laquelle la première se transforme par inversion. Si donc on sait, pour tous les corpS; résoudre le problème intérieur de Lejeune-Dirichlet, on sait aussi, pour tous les corps, résoudre le problème extérieur de Lejeune- Dirichlet. On peut se proposer seulement de résoudre le premier problème.

On sait résoudre le problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace intérieur à une certaine surface S, si l'on sait trouver la fonction de Green relative à cette surface S et à un pôle quelconque P intérieur à cette surface S.

Trouver la fonction de Green pour la surface S et le pôle P se ramène à trouver une fonction TÇa^y, z), harmonique à l'intérieur

de la surface S et devenant égale à ( — -^=- j en tout point M de

la surface S.

Transformons la surface S par inversion en plaçant le pôle de transformation au point P et en prenant l'unité pour coefficient de transformation. Soit S' la transformée de la surface S. Supposons que nous sachions trouver la fonction -^{0:',^', z'), qui esl harmonique dans l'espace extérieur à la surface S', égale à l'unité sur la surface S' et, à l'infini, égale à zéro à la manière d'une fonction potentielle. Si l'on transforme de nouveau par inversion la surface S' en la surface S, la fonction f{x',y, z')se transforme en une fonction g{^,y, :■)■ Si l'on désigne par /-la distance du point

a44 LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DHUCIILET.

{■r,y, z) au point P, la fonction

sera harmonique en tout point intérieur à la surface S et prendra

la valeur ( — —=- \ en tout point de cette surface. Ce sera donc la