PM P, M

cl, par conséquent,

résultat auquel Sir W. Thomson (') était arrivé par des méthodes géométriques très élégantes, mais détournées.

Dans le cas où aucune influence ne s'exerce sur le conducteur limité par la surface S, l'égalité (i) se réduit à

(2) 2Tra(M)=g

a(P)cos(PM,Ne)

dS.

C'est sur la considération de cette égalité que repose la méthode donnée par M. G. Rohin (*) pour déterminer la distrihution naturelle de l'électricité sur un conducteur limité par une surface de second rang.

Prenons une fonction /(M) assujettie seulement à être uniforme, à demeurer finie, et à varier toujours d'une manière continue sur la surface S. Supposons en outre que cette fonction ait le même signe en tout point de la surface S.

Formons les fonctions

. n /(P)cos(PM, N,) ,^ PM (3) { ,,^, I O /,(P)cos(PM,Ne)

Les fonctions /(M), y, (M), /^(M), ... forment une suite illi-

(') Sir W. Thomson, Geometrical investigations with référence to the distribution of electricity on spherical conductor ( Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i848, 1849, ^^^^ ! Papers on electrostatics, art. 89).

(») G. Robin, Distribution de l'Électricité sur une surface fermée convexe {Comptes rendus, t. GIV, p. i834; 1887).

248 UVRi; II. - DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

mitée. Nous allons prouver que, lorsque n croît au delà de toute Hniile, la fonction fn(M) tend vers une limite qui a pour valeur Ke(M), e(M) étant la densité superficielle au point M dans la distribution naturelle.

Écrivons en effet la première des égalités (3) sous la forme

Soit G la limite supérieure des valeurs prises, sur la surface S,

par le rapport ,,i' Soit H la limite inférieure des mêmes valeurs.

Posons

Divisons la surface S en deux parties : l'une, o-, en tout point P de laquelle on ait

l'autre, a', en tout point P de laquelle on ail

La surface étant de second rang, cos(PM, N^j n'est jamais négatif; e(P) est positif en tout point (Chap. IV, théorème I). L'éga lité (4) permet donc d'écrire

../,(M)1gC ^(P)cos(PM,N.)^^^ O e(P)cos^PM,N.)^^, ^<y Pm' ^a' PM

e(P)cos(PM, N,) , „n e(P)cos(PM, Ne) , ,

Pm' ^«t' PM

" PM" ^«•' uivi

ou bien, d'après la définition de [jl,

(../.(M)<Gg ^(P)cos[PM.N.)^3 G-Hn .(P) cos(PM, N.) ^^,^ \ ^s PM ^ ^^ff' PM

^c t>n/r 2 L7 Plu"

's PM 'T PM