CHVP. X. — LA DISTRIBUTION NATURELLE
Mais, d'après l'égalité (2). on doit avoir
/AIN C e(P)cos(PiVl, N^) ,ç 2re(M) = V — — ^ ab.
PM
Si l'on pose
e(P)cos(PiVl,Ne) , . ,..,
^ ^-p— ^ — - di — 2Tree(M),
Pi\r
e(P)cos(PM,N«)
<T' PJVl''
da' = 2'!r6'e(M),
les deux quantités 0 et 9' seront positives ; leur somme sera égale à I et, par conséquent, chacune d'elles sera inférieure à l'unité. L'introduction de ces relations permet d'écrire les égalités (5) sous la forme suivante :
Soit 0' la valeur de 0' qui correspond à la plus grande valeur G,
que le rapport '-^.-ri prenne sur la surface S. Soit 0 la valeur de 0
qui correspond à la plus petite valeur H, que le rapport ^^
prenne sur la surface S. La seconde de ces quantités 0 et 0'ne peul être égale à zéro, même si f^ CM) est égal à e(M) en tout point de la surface S ; chacune d'elles est inférieure à l'unité. INons aurons, en vertu des inégalités précédentes,
IHh-
el, par conséquent,
G,-H,irG-HM 1
En raisonnant de même sur les autres égalités (3), nous trou
25o LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLEME DE DIRICHLKT
verons
G3-Il3è(G2-H,)(i-^^-j
Chacune des quantités S„, &'^^ est positive et inférieure à i ; la quantité 0« ne peut tendre vers zéro. Le rapport
est donc positif et admet une limite supérieure ). inférieure à l'unité, en sorte que l'on a
G,-Hi^X(G -H),
G2-H2lX(Gi-Hi), G3— H3£X(G2 — H2),
et, par conséquent,
De là on conclut que le rapport .. — tend vers une limite K ^ ^^ e(M)
indépendante de la position du point M sur la surface S, et que,
par conséquent,
Iim[/„(M)]„ = Ke(M).
Cette valeur K est d'ailleurs forcément différente de zéro si, comme nous l'avons supposé, la fonction /"( M) a même signe en tout point de la surface S.
La constante K se détermine aisément. Si l'on remarque que
Ce(M)^S = i, on voit que l'on a
Iim[^g/„(M)^SJ^ =.K, et, par conséquent,
• ■ .(M) = limr -f""^^ "I ,
formule qui détermine la distribution naturelle sur la surface S.
CHAI». \. — LA DlSTUIBl TION NATURELLE. 25l
M. Poincaré (') a donné une autre méthode qui permet de déterminer la distribution naturelle sur une surface fermée, convexe ou non convexe, ne présentant pas d'autres singularités qu'un nombre limité de points coniqvies.
(') H. Poincaré, Sur le problème de la distribution électrique {Comptes rendus, t. CIV, p. 44 ; 1887) ; Sur les équations aux dérivées partielles de la Physique mathématique {American Journal of Mathematics, t. XII, p. 211;
252 Mvm: II. — DisTRiBirioN i:t PROIÎI.KMK DK DimCllI.KT.
