LE PROCÉDÉ ALTERNÉ

§ 1. — Extension du problème de Lejeune-Dirichlet.

Dans l'étude du problème de Lejeune-Dirichlet, nous avons supposé jusqu'ici qu'en tout point m de la surface S les valeurs données ç(m) étaient finies et variaient d'une manière continue d'un point à l'autre de la surface S. Cette supposition nous était dictée par la manière même dont le problème de Lejeune-Dirichlet s'introduit dans l'élude de la distribution électrique. Mais, pour l'étude d'une méthode qui sera exposée au paragraphe suivant, il nous est nécessaire d'étendre l'énoncé du problème de Dirichlet en admettant la possibilité de certaines discontinuités pour les valeurs données ç(m).

Nous admettrons donc que, sur la surface S, on puisse tracer une ligne L ne passant pas deux fois par le même point, et possédant les propriétés suivantes :

La fonction p(m) est continue en tout point de la surface S, sauf aux points de la ligne L.

Soit [JL unpoint de la ligne L. Si le point m tend vers le point pi en restant d'un côté déterminé de la ligne L, la fonction ç(m) tend vers une limite parfaitement déterminée ^'t(pi-). Si le point m tend vers le point ix en restant de l'autre côté de la ligne L, la fonction ç(ni) tend vers une limite parfaitement déterminée, mais différente de la précédente, V2{l>-)-

On ne suppose pas que l'on ait donné de valeurs à la fonction v{m) aux divers points de la ligne L. On suppose seulement que ces valeurs doivent être finies (').

Il est facile de voir que, dans ces conditions, la démonstration

(') Celte restriction est essentielle. Si la fonction v{in) n'est pas assujettie à être finie le long des lignes de discontinuité, le problème proposé peut admettre une infinité de solutions, comme M. Painlevé l'a démontré pour le problème analogue relatif aux fonctions de deux variables [Paul Painlevé, ^wr les lignes singulières des fonctions analytiques [Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IL p. B.22; 1888)]