CH.VP. XI. — LE PROCÉDÉ ALTERNÉ
par laquelle on a prouvé, au Chapitre V, que le problème de Dirichlet ne pouvait admettre plus d'une solution demeure entièrement valable.
Mais une circonstance se présente sur laquelle il est nécessaire d'appeler l'attention.
Prenons tout d'abord un point m au voisinage duquel les valeurs de v{m) n'éprouvent aucune discontinuité. Soit M/ un point intérieur à la surface S. Soit V(M,) une fonction qui résout pour cet espace le problème de Dirichlet. On peut toujours, autour du point m tracer un domaine D, compris à l'intérieur de la surface S, et assez petit j)our que, pour tout point M/ de ce domaine, on ait
î étant une ([uuntité positive donnée d'avance.
Soit, en efi'et, s la partie de la surface S qui forme la limite du domaine D (Jîg'. i'i) avec une surface a- comprise à l'intérieur do
Fi
l'espace considéré. La fonction V(M) est continue sur la surface t et sur la surface s. Il en est de même de la fonction
puisque v(/n) ne varie pas avec le point M. On peut donc prendre cette surface (-î + '^) assez petite pour que, pour tout point M de cette surface, on ait
Alors, comme la fonction U(M/), harmonique à l'intérieur du domaine D, prend sa valeur absolue maxima en un point de la surface {s -t- a-) qui limite le domaine D, on voit que l'on aura, comme nous l'avions annoncé,
pour tout point du domaine D.
Ainsi, lorsque la fonction v{ni) est continue sur la surface S
au voisinage du point m, la fonction V(M<) qui résout le problème de Dirichlet pour V espace intérieur à la surface S, et la fonction W(Me) qui résout le même problème pour V espace extérieur à la surface'è^ tendent Vune et Vautre uniformément vers ç{m) si le point M/ et le point M^ tendent vers le point m.
La démonstration sur laquelle repose cette proposition ne se peut plus répéter si le point m se trouve coïncider avec un point [x de la ligne L le long de laquelle les valeurs de v{m) sont discontinues.
Dans ce cas, il peut arriver que, le point M/ tendant vers le point [JL, la fonction V(M/) qui résout le problème de Dirichlet povir l'espace intérieur à la surface S, ne tende plus d\ine manière uniforme vers aucune limite ; il peut arriver que la limite vers laquelle tendent les valeurs de V(M/) dépende du chemin suivi par le point Mi pour venir rejoindre le point m.
5^ 2. — Extension de la méthode de la moyenne arithmétique.
La méthode de la moyenne arithmétique, créée par M. Cari Neumann pour résoudre le problème de Lejeune-Dirichlel, peutelle s'étendre au cas où les valeurs données v{m) présentent, sur la surface S, des discontinuités du genre de celles que nous venons de définir ?
Cette question a été complètement examinée, pour le cas de deux variables, par M. Axel Harnack ( ' ) qui j a répondu affirmativement. Les raisonnements de M. Axel Harnack ne peuvent s'étendre au cas de trois variables que moyennant certaines restrictions, qui ne permettent pas de laisser à la conclusion son entière généralité.
Voici dans quelles conditions les raisonnements de M. Axel Harnack se laissent étendre au problème de Lejeune-Dirichlet dans l'espace :
La ligne L, le long de lac^uelle les valeurs de v{j7i) sont discontinues, est tout entière tracée dans une région en tout point de laquelle la suif ace S admet un plan tangent unique variable d'une manière continue; ou bien encore, en tout point de la ligne L, la surface S admet deux plans tangents
(') Axel Harnack, Die Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potentiales, . . ., p. 96. Leipzig, 1887.
CHAI'. XI. — Lli PROCÉDÉ ALTERNÉ. 2^5
distincts ; mais la ligne L ne coupe jamais une arête de la surface S, ou ne passe jamais par un point conique de cette surface. De plus, la ligne L admet en chaque point une tangente unique, variable d'une manière continue.
Moyennant ces conditions, la surface S étant en outre supposée une surface de second rang non bidtoilée, la méthode de la moyenne arithmétique permet de résoudre le problème de Dirichlet tant pour l'espace extérieur à la surface S que pour l'espace intérieur,
La solution ainsi trouvée possède une propriété qu'il est utile d'indiquer.
Soit, par exemple, \ (M/) la fonction ainsi trouvée qui résout le problème de Dirichlet pour l'espace intérieur à la surface S.
Supposons que le point M/ tende vers un point m de la surface S où la fonction v(^m) est continue-, V( M/) tend alors d'une manière uniforme vers ç(m'), conformément à ce que nous avons dit au paragraphe précédent.
Supposons, au contraire, que le point M/ tende vers un point u. de la ligne de discontinuité L [jîg- 43) ; soient Çi['j.), v^dt-) les
Kigr. /i3.
deux valeurs limites vers lesquelles tend v(m) selon ([ue le point nt tend vers [x en demeurant d'un côté ou de l'autre de lu ligne L. La surface S peut admettre au point pi deux plans tangents : l'un, P,, à la région de la surface à laquelle correspond la limite Vt^k) ; l'autre, Po, à la région de la surface à laquelle correspond la limite i^oi'-t-)- Ces deuv plans font entre eux un angle a qui se réduit à TT si la surface admet au point [x un seul plan tangent.
Soit [jlT la tangente en [j. à la ligne L. Soit [x0 la tangente en [jl à la ligne [xM/ par laquelle le point M, vient en pi. Les deux lignes |xT, 1X0 forment un plan II. Le plan n forme avec le plan P, un angle a, et avec le plan P-, un angle ao.
256 MVRK II. - DISTRIBLTION ET PROBLÈ.ME DE DlBICllLET.
On a
(,) iimV(M,)=(i-^)^^i(l^)+(i-5)^2([^).
Ainsi, la valeur limite vers laquelle tend la fonction V(M/) dépend des angles «), a2, et, par conséquent, du chemin suivi par le point Mi pour venir au point jjl. Cela est d'accord avec ce que nous avons dit au précédent paragraphe.
]^a solution du problème extérieur de Lejeune-Dirichlet donne lieu à des remarques analogues.
§ 3. — Le procédé alterné; formation de la solution. Imaginons deux surfaces fermées S et S' qui se rencontrent
Ces deux surfaces sont supposées se couper suivant une ligne LL'L", de telle sorte que la surface S comprend une aire Sj extérieure à S' et une aire Sa intérieure à S'; que la surface S' comprend une aire So extérieure à S et une aire S., intérieure à S.
Les deux surfaces S, S' n'ont aucun point de contact; elles se rencontrent toujours sous un certain angle le long de la ligne LL'U.
La ligne LL'L" vérifie aussi bien sur la surface S que sur la surface S' les restrictions imposées au paragraphe précédent à la ligne de discontinuité des valeurs de ç(m).
Cela posé, imaginons que l'on ait une méthode pour résoudre le problème de Dirichlet à l'intérieur de la surface S, même dans le cas où les valeurs données sur cette surface seraient discontinues le long de la ligne LL'L"; que la solution ainsi trouvée possède, en tous les points de la ligne LL'L", la propriété exprimée par
CHAP. XI. — LE PROCÉDÉ ALTERNÉ. aSj
l'égalité (i). La méthode de la moyenne arithmétique satisfera à toutes ces conditions si la surface S est de second rang et non biétoilée.
Faisons une hypothèse analogue pour la surface S'.
Ces hypothèses admises, nous allons voir qu'il est possible de résoudre le problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace compris entre les surfaces Si et S2.
La méthode qui conduit à ce résultat important a été découverte en même temps par M. Sdhwarz (') et par M. Cari Neumann (-). M. Cari Neumann (») et M. A.xel Harnack (^) en ont donné des exposés didactiques. M. Schwarz a donné à cette méthode le nom de procédé alterné.
Soient E l'espace compris entre les surfaces S, , S., ; E' l'espace compris entre les surfaces So, S3 ; e l'espace compris entre les surfaces S,, Sa-
On se propose de trouver une fonction V(M,), harmonique dans tout l'espace (E-h E'+ e) et prenant sur les surfaces S^ 83, qui limitent cet espace, des valeurs données v(7ii)^ variant d'un point à l'autre d'une manière continue.
Soit G la plus grande des valeurs de v(m) et soit K la plus petite.
Ces conventions posées, formons une fonction U( (x^y, z), harmonique à l'intérieur de l'espace (E-f-e), prenant sur la surface S, les valeurs données v(m) et sur la surface S3 la valeur constante K.
Cette fonction prend sur la surface S.j des valeurs que nous désignerons par //,".
Formons ensuite une fonction U2{x,y, z), harmonique à l'intérieur de l'espace (E'-f- e), prenant sur la surface So les valeurs données ç>{m) et sur la surface S4 les valeurs m"-
Cette fonction prend, sur la surface S3, des valeurs que nous désignerons par w™.
(' ) Schwarz, Programm der Polyteknikum-Schule in Zurich; 1869-70.
(") C. Neumann, Berichte iiber die Ver/iandlungen der K. Sàchsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig ; 21 avril et 3i octobre 1870.
(') C. Neumann, Untersuchungen iiber das logarithmische und Newton'sche Potential. Leipzig, 1877.
(*) Axel Haknack, Die Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potentiales, .... Leipzig, 1887.
Formons de nouveau une fonction l]3{x, y, z), harmonique dans l'espace (En- e), prenant sur la surface S, les valeurs données p(m) et sur la surface S3 les valeurs u"^.
Cette fonction prend, sur la surface S4, des valeurs que nous désignerons par u\J.
En continuant de la sorte, nous formerons successivement les fonctions contenues dans les deux Tableaux que voici :
