II. — Fonctions harmoniques dans (E'-+-e

Fonctions S^.

Viix, j, z) ç(m)

l}6{oe,y,z) v(m)

Valeurs sur

Il"

On voit que l'on doit former alternativement une fonction du premier Tableau, puis une fonction du second, ce qui justifie le nom de procédé alterné donné par M. Schwarz à cette méthode.

Nous allons voir que la solution cherchée s'obtient en prenant, en tout point M, de l'espace E,

(2) V(M/) = Ui(M,-) + [U3(M,)-Ui(M,)] + [U5(M,)-U3(M,- )]+...; en tout point M/ de l'espace E',

(3) V(M,) = U2(M,0+ [U4(M,-)- U2(M,-)] + [UeCM/) - UiCM,-)] + • • • ;

enfin en prenant arbitrairement, en tout point de l'espace e, l'une ou l'autre de ces deux expressions.

Cn\P. XI. — LE PROCÉDÉ ALTERNÉ. 9.Sçf

§ i. — Démonstration du théorème qui vient d'être énoncé.

Pour démon Irer que la méthode précédente fournil bien la solution du problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace (E + E'-t-e), il suffît évidemment de démontrer les propositions suivantes :

1° La série donnée par l'égalité (2) est convergente et représente une fonction harmonique dans tout l'espace (E + e).

2" La série donnée par l'égalité (3) est convergente et représente une fonction harmonique dans tout l'espace (E'h- e).

3" Ces deux fonctions harmoniques sont identiques dans tout l'espace e.

4" Lorsque le point M/ tend vers un point m de la surface S|, la fonction V(M/), définie par l'égalité (2), tend uniformément vers r(m).

5" Lorsque le point M,- tend vers un point m de la surface Sj, la fonction V(M/), définie par l'égalité (3), tend uniformément vers v{m).

Le fait que la série donnée par l'égalité (2) est convergente dans l'espace (E -h e) et j représente une fonction harmonique peut se déduire du théorème de M. Axel Harnack, démontré au § 2 du Chapitre IX.

La fonction U( (.r, y, z) prend sur la surface S) les valeurs p(/?i), qui sont toutes comprises entre G et K, et sur la surface S3 la valeur K.

La valeur de \]^{x^y, z) en tout point de l'espace (E + e) est donc comprise entre G et K. Il en est ainsi en particulier des valeurs désignées par u^^.

La fonction \]2{x,y, z) a, dans tout l'espace (E'+e), des valeurs comprises entre G et la plus petite valeur de ('(m) ou de m','. Il en est ainsi en particulier des valeurs u!^ qu'elle prend sur la surface S3.

Il en résulte que la différence \\]<i{x,y,z) — \]i{x,y, z)'\ ne peut avoir de valeurs négatives en aucun point du domaine e ; en effet, sur la surface S4, cette différence a une valeur égale à o ; sur la surface S3, elle a pour valeur m™ — K, et nous venons de voir que m'j ne pouvait être inférieur à la plus petite des valeurs de v{m) ou de ^V^ qui, elle-même, ne peut être inférieure à K.

La fonction \]i{x^y^z) a, dans tout l'espace (E -f- e) des va-

26o LIVRE H. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

leurs comprises entre G el la plus petite des valeui-s de v{m) ou de ?/.,'. Nous venons de voir que la plus petite des valeurs de u"^ ne peut être inférieure à K. Donc U3(x,y, z) est compris, dans tout l'espace (E + e), entre G et K.

La différence [U^^x, y, z) — IJiÇa;, y, z)] ne peut en aucun point de l'espace (E + e) avoir de valeurs négatives ; en effet, sur la surface 84 , cette différence prend la valeur o et, sur la surface S3 la valeur iC — K. qui, nous l'avons vu, ne peut être négative.

En continuant de la sorte, nous arriverons au résultat suivant :

i" Aucune des fonctions

ne peut, en aucun point de l'espace (E + e), surpasser G ; 2" Aucune des différences

[U3(.r,jK, ^)— Ui(.r,jK, 5)], [l]B{3r,y, z) — U3(x,y, z)], ...

ne peut, en aucun point de l'espace (E + e), prendre une valeur négative.

De là on conclut que les fonctions

Ui(a:-,jK, 5), V3{x,y,z), lJi{x,y,z), ...

tendent vers une limite supérieure Y(œ^y,z)., en sorte que l'on peut écrire ,

\{x,y. z) — \Ji{a;,y,z) = {Vaix, y, z) — l]i(x,j, z)]

La série qui forme le second membre converge en chaque point de l'espace (E + e); aucun de ses termes n'éprouve de changement de signe lorsque le point (x,y,z) se déplace dans l'espace' (E 4- e) ; il n'y a jamais de changement de signe lorsqu'on passe d'un terme au suivant ; chacun de ces termes est harmoniqvie dans l'espace (E-|-e). La série converge donc uniformément et représente une fonction harmonique dans tout l'espace (E-f- e).

On prouve ainsi que l'égalité (2) définit une fonction harmonique dans tout l'espace (E + e).

On prouverait de même que la série (3) définit vine fonction harmonique dans tout l'espace (E'-(- e).

Cherchons maintenant quelles valeurs prend la fonction V(M/) définie par l'égalité (2) sur les surfaces S) 'L S3.

CIIAP. XI. — LE PROCÉDK ALTERNÉ. 201

Nous ne pouvons, pour trouver ces valeurs, employer le ihéorème de M. Vito Vollerra, car les valeurs que prennent à la surface chacun des termes de la série (2) sont discontinues le long de la ligne LL'L"; il faut donc raisonner directement. Nous n'exposerons pas ici la suite un peu longue de ce raisonnement ('). Elle conduit à ce résultat que la valeur prise en un point quelconque m des surfaces Si et S3 par la fonction V(M/) que définit la série (2) est représentée par la série que l'on obtient en remplaçant chacun des termes de la série (2) par la limite vers laquelle il tend lorsque le point M,- tend vers le point m.

Il suit immédiatement de là que, si le point M,- tend vers un point m de la surface S, qui ne fasse pas partie de la ligne LL'L", la fonction V(M,) tend vers v{7n).

On peut démontrer aisément qu'il en est encore ainsi lorsque le [)oint M,- tend vers un point ni de la ligne LL'L" (-).

Des considérations analogues s'appliquent à la fonction définie par l'égalité (3).

Il nous reste à démontrer que les deux fonctions définies parles égalités (2) et (3) sont identiques dans l'espace e; et, pour cela, comme ces deux fonctions sont harmoniques dans l'espace e, il nous suffit de prouver qu'elles prennent des valeurs identiques en tout point des surfaces S3, Sj qui limitent l'espace e.

Considérons, par exemple, la surface S3.

D'après ce qvii vient d'être démontré, la valeur en un point de la surface S3 de la fonction définie par l'égalité (2) est représentée par la série

K -\- ( u'I — K) + ( II". —u'I)-^...,

(pii peut s'écrire, en vertu des égalités

<[ui résultent de l'inspection du Tableau I,

K + ( u"^ — K) -I- ( u'I — ii'l ) 4-

D'autre part, au même point, la fonction représentée par l'éga-

(') On la trouvera dans Axel Harnack, Die Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potentiales, ..., P- 'o3 et p. m. Leipzig, 1887. ( = ) Ibid., p. 112. Leipzig, 1887.

26a LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

lilé (3) prend la valeur

«2 -f- ( u'I — ll'l) -7-. . .^

qui est évidemment identique à la précédente.

Ainsi se trouve complètement justifiée la méthode définie au paragraphe précédent.

§ 5. — Applications successives de la méthode alternée.

On conçoit aisément l'importance du procédé alterné par lequel, lorsqu'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour deux corps, on sait le résoudre pour une infinité d'autres corps résultant de la combinaison des deux premiers. Mais la puissance de ce procédé est encore accrue par la remarque suivante.

Nous avons supposé les valeurs données v[m) continues sur l'ensemble des deux surfaces S|, S2. Mais le procédé alterné permettrait encore de déterminer une fonction V(M/), harmonique à l'intérieur de l'espace limité par les surfaces S,, S3 et prenant sur ces surfaces des valeurs qui admettent une ligne de discontinuité)^, tracée tout entière sur la surface Sj, ou tout entière sur la surface S2. Cette ligne X doit vérifier les conditions qui ont été précisées au § 2. Au voisinage de cette ligne X, la fonction V(M/) présentera des propriétés analogues à celles que l'égalité (i) exprime pour la fonction U(M,).

Il résulte de là que, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet

pour les espaces Ej + ^ia, EaH- e,o H- ^20, l''3 + <?23 {fig- 4^)? on saura le résoudre pour l'espace

El -1- el2^- E2-h 623-+- E3.

On arrivera ainsi, par une série d'applications de la méthode