CHAP. XI. — LE PROCÉDÉ ALTERNÉ

alternée, à le résoudre pour des espaces d'une extrême complication.

Dans le cas des fonctions de deux variables, M. Axel Harnack est parvenvi à démontrer, en s'appujant sur l'emploi de la méthode alternée, que le problème de Lejeune-Dirichlet admettait une solution pour l'aire que limite une courbe quelconque ('). Sa démonstration, malheureusement, ne peut, sans recherches nouvelles, être étendue au cas de trois variables ; elle exigerait, en effet, pour être valable dans ce cas, que la méthode de la moyenne arithmétique fût légitime, même lorsque les valeurs données sont discontinues le long d'une ligne qui rencontre des arêtes ou des points coniques de la surface limite. Cette légitimité de la méthode de la moyenne arithmétique, quoique très probable, n'est pas prouvée jusqu'à ce jour.

Rappelons, en terminant, que M. Cari Neumann (^) a fait connaître une méthode analogue au procédé alterné, permettant de

Fig. 46.

résoudre le problème de Lejeune-Dirichlet pour l'espace e {fig- 46), lorsqu'on sait le résoudre pour les espaces (E -\- e) et (E'-f- e).

(' ) Axel Harnack, Existenzbeweise zur Théorie des Potentiales in der Ebene und im Baume {Berichte ûber die Verhandlungen der K. Sâchsischen Gesellscha/t der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe, p. i44; 1886). — Die Grundlagen der Théorie des logarithmischen Potentiales, . • . , p. 109; Leipzig, 1887.

(^) Carl Neumann, Untersuchungen iiber das logarithmische und Newton'sche Potential, p. 826; Leipzig, 1877.