LE PROBLÈME DE MURPHY

§ 1. — Le problème de Murphy.

La méthode de la moyenne arithmétique, combinée avec le procédé alterné, permet de résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace intérieur à une infinité de conducteurs; il est même probable que l'on peut, au moyen de ces procédés, démontrer d'une manière générale l'existence d'une solution au problème de Dirichlet à l'intérieur d'un espace linéairement connexe quelconque ; un point de détail arrête seul cette extension des raisonnements exposés par Axel Harnack dans le cas de deux variables

Les méthodes précédentes permettent aussi de résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à un nombre immense de conducteurs. Pour résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à une surface fermée S, il suffit, en efTet, de transformer par inversion cette surface en une surface S', de résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace intérieur à la surface S', et de répéter l'inversion une seconde fois.

On saura donc trouver pour un nombre immense de conducteurs linéairement connexes, et probablement pour tous, la distribution électrique engendrée par des charges données ; si les méthodes sont trop laborieuses, en général, pour permettre le calcul efi^ectif de la distribution électrique, elles auront du moins l'avantage de démontrer l'existence de cette distribution.

Mais un nouveau problème s'offre maintenant à notre attention ; ce problème est le suivant :

Trouver la distribution électrique engendrée par des charges électriques données sur un système de plusieurs conducteurs dont les uns portent des charges connues tandis que les autres sont maintenus à des niveaux potentiels connus.

Nous allons voir que ce problème peut toujours être résolu