CII.VP. XII. — LE PROBLÈME DE MURPHV. . 2G

lorsqu'on sait résoudre le problème extérieur de Lejeune- Dirichlet pour chacun des conducteurs qui composent le système.

Nous donnerons le nom <\e problème de Muiphy kXdiTecheTchc des méthodes combinatoires propres à effectuer cette réduction, parce que la première méthode de ce genre, méthode qui a ensuite donné naissance aux recherches de Béer, de M. Cari Neumann, de M. Schwarz, sur le problème de Lejeune-Dirichlet, a été donnée par Murphy (') en i833.

§ 2. — Lois fondamentales de la condensation électrique.

La méthode de Murphy avait pour objet l'étude d'un problème spécial, le problème de la condensation électrique, qui peut s'énoncer de la manière suivante :

Etant donnés un conducteur C) {fig- 47 )> maintenu au

niveau potentiel Pi.', un conducteur C2 mis en communication avec le sol et, par conséquent, maintenu au niveau potentiel O, trouver la distribution de V électricité sur ces deux conducteurs.

Avant d'étudier la méthode par laquelle Murphj ramène ce problème à l'étude de la distribution engendrée par des charges données sur chacun des conducteurs mis en communication avec le sol, nous allons exposer les propriétés fondamentales de la distribution produite sur les deux conducteurs G| etCa- Plusieurs de

(') Murphy, Elementary principles of the théories of electricity, heat and moleculars actions, Part. I, Chap. V, p. 98.

ces propriétés seront invoquées dans la justification de la méthode de Murphy.

Nous savons déjà (Chapitre IV, théorème IX) que la distribution doit être monogène sur chacun des deux conducteurs Cl et C2. Sur C,, elle a le signe de A et un signe contraire sur C2.

Pour fixer les idées, nous supposerons A positif; le conducteur G| sera alors chargé d'électricité positive, et le conducteur C2 d'électricité négative.

Lemme I. — Si le conducteur C2, mis en communication avec le sol, est soumis à V influence d\ine masse électrique positi^^e Y- concentrée en un point extérieur M, il se recouvre d\ine distribution monogène et négative.

Soit S2 {fig- 48) la surface du conducteur Co. Entourons le

Fis. 48.

point M d'une petite surface S. La fonction potentielle, égale à o sur la surface Sa et à l'infini, est positive et très grande sur la surface S. Elle est donc positive dans tout l'espace extérieur aux

surfaces So et S. La quantité -7^ est alors positive en tout point

de la surface S2, ce qui démontre le théorème énoncé :

Lemme IL — Si le conducteur Co, mis en communication avec le sol, est soumis à l'action des charges électriques jji., [x', p.", . . . concentrées aux points extérieurs M, M', M", . . ., il se recouvre d' une distribution qui est la superposition des distributions dont il se couvrirait, si on le soumettait successivement à r action de la seule charge [x concentrée au point M, de la seule charge \k' concentrée au point M',

La démonstration de ce lemme est immédiate.