CHAP. XII. — LE PROBLÈME DE MURPHY

Corollaire. — Si Vonjixe aux divers points M', M", M'", . . . de la surface du conducteur Ci des charges pi.', fx", ^" ^ . . . toutes positives, dont la somme est égale à Qi, ces charges induiront sur le conducteur Co, mis en communication avec le sol, des charges toutes négatives dont la somme sera égale à ( — Qo)? et l'on aura

(1) Q2;=KQ„

K étant une constante positive, inférieure à l'unité, et qui dépend seulement de la position mutuelle des deux conducteurs Gj et Ga-

Il est d'abord évident, d'après les lemmes ï et II, que toutes les charges induites sur le conducteur C2 sont négatives. La dernière partie de notre proposition a donc seule besoin de démonstration.

Une unité d'électricité positive, en équilibre d'elle-même sur le conducteur G2 isolé, le porte au niveau potentiel positif A. Sa fonction potentielle a, aux points M', M", M'", . . ., des valeurs A', A", A"^ . . . toutes positives, et inférieures à A. On a donc

A'<KA, VIKA, A'IKA,

K étant une constante positive et inférieure à i qui dépend seulement de la position mutuelle des deux conducteurs C(, Go.

Si la charge Q2 est en équilibre d'elle-même sur le même conducteur Ga, elle le porte à un niveau potentiel B ; sa fonction

potentielle a, aux points M', M", M'", ... des valeurs B', B", B'",

On a évidemment

^ = AQ2, B'=A'Q.2, B"=VQ2,

et, par conséquent,

(2) B'r^KB, B"SKB, B"'5.KB,

Gela posé, appliquons l'identité de Gauss aux deux états suivants du système :

Premier état.

, ^ \ charge totale ... — Q2

Conducteur Lo < . . , r^

( niveau potentiel. U

Point M' Point M"

charge \x'

niveau polentiel. V

charge [J."

niveau potentiel. V

Deuxième état.

^ , ^ l charge totale Q.->

Conducteur Lo { . . , ,/

I niveau potentiel ... H

„ . ,,, 1 charge O

Point M' I . ^

niveau potentiel ... B

Point M"

charge O

niveau potentiel ... B"

Cette identité de Gauss va nous donner

BQ, = BV-i- BV'-f- B'V'H-. . . .

Toutes les quantités qui figurent dans cette égalité sont positives. D'ailleurs

;jl' -h ;j." -I- [jl'" -4- . . . — 0 1 .

Les inégalités (2) nous donnent donc

Q2SKQ,.

C'est ce que nous voulions démontrer.

On démontrerait de même que, si l'on fixe aux divers points de la surface du conducteur C2 des charges toutes négatives et dont la somme soit égale à ( — Q-i), ces charges induiront sur le conducteur Cj, mis en communication avec le sol, des charges toutes positives dont la somme sera égale à Q3, et Von aura

(3) QsSK'Q^,

K.' étant une constante positive, inférieure à V unité et qui dépend de la position mutuelle des deux conducteurs C| et C:>.

Ces propositions serviront à démontrer la légitimité de la méthode de Murphy. Elles nous fournissent aussi des renseignements sur les coefficients de Gaugain (*) dont nous allons donner la définition.

Ces coefficients se définissent au moyen de trois expériences.

Première expérience. — Le conducteur C| étant maintenu au

(') Cette théorie est due à M. J. Moutier [.J. Moutier, Sur la condensation électrique {Bulletin de la Société Philomatique, 1878)].

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niveau potenliel A, le conducteur C2 est mis en communication

avec le sol. Le premier prend une charge positive a, le second

une charge négative — b.

Posons

b — ma.

Le coefficient m dépend seulement de la situation des deux conducteurs Cl et C2 et pas du niveau potentiel A. C'est \e premier coejffîcient de Gaugain. Si les deux conducteurs C|, C2 sont extérieurs l'un à l'autre, ce coefficient est au plus égal à K, et, par suite, inférieur à l'unité.

Deuxième expérience. — Le conducteur Ci, maintenu au niveau potentiel A, est mis en présence du conducteur C2, isolé et portant une charge totale égale à O. Celui-ci se met au niveau potentiel B et le conducteur Ci prend une charge totale «q-

Gaugain nomme force condensante de l'appareil le rapport

Troisième expérience. — On isole le conducteur C2, porteur

de la charge — b ei l'on met le conducteur C| au sol. Il prend une

charge positive «(.

Posons

«1 = ni'b.

Le coefficient m' dépend seulement de la situation des deux conducteurs C, et C2 et pas de la charge b. G esvXe second coefficient de Gaugain. Si les deux conducteurs C,, Co sont extérieurs l'un à l'autre, ce coefficient est au plus égal à K', et, par suite, inférieur à l'unité.

Gaugain a trouvé, par l'expérience, que l'on avait

Ce résultat peut se retrouver parla théorie. L'identité de Gauss, appliquée aux deux premières expériences, donne

ao A — a A — èB.

Cette même identité, appliquée à la seconde expérience et à la

troisième, donne

O = «lA — 6iB.

Ces deux relations donnent l'égalité trouvée par Gaugain. Comme on a évidemment

a, = mm'a, la relation (4) donne

relation qui exprime la force condensante en fonction des deux coefficients de Gaugain.

Nous aurons plus lard, dans l'étude de la décharge du condensateur, l'importance de ces deux coefficients.

§ 3. — La méthode de Murphy.

La méthode de Murphy a pour Lut de trouver la distribution électrique sur deux conducteurs C,, C2 ifig- 49)? dont l'un, d.

est maintenu au niveau potentiel A, tandis que l'autre, C2, est maintenu au niveau potentiel o, lorsque l'on sait déterminer la distribution qu'engendrent des charges électriques données sur chacun de ces conducteurs, considéré isolément, et mis en communication avec le sol, ou maintenu à un niveau potentiel donné.

Le conducteur C,, étant au niveau potentiel A et soustrait à l'action de toute charge électrique extérieure, est recouvert d'une distribution électrique que l'on sait déterminer par hypothèse. Soit Q, la quantité totale d'électricité qu'il renferme, quantité qui est positive si A est positif; soit A| la densité de celte distribution au point M( de la surface Si du conducteur Ci ; nous savons que cette densité A) est positive.

Imaginons cette distribution yZ^ee sur le conducteur C) ; plaçons en sa présence le conducteur C2, mis en communication