CHAP. X». — LE PROBLÈME DE MURPHY. 27I
avec le sol. Ce conducteur va se recouvrii- d'une distribution électrique que nous savons, par hypothèse, déterminer ; cette distribution est monogène et négative ; ( — Q2) est sa masse totale ; en un point Ma de la surface S2 du conducteur Co, elle a une densité
Fixons cette distribution sur le conducteur C2 et plaçons-le en présence du conducteur Ci mis en communication avec le sol. Celui-ci se recouvre d'une distribution que nous savons déterminer par hypothèse. Celte distribution est monogène et positive. Soient Q3 sa masse totale et A3 sa densité au point M, .
En continuant de la sorte, nous déterminerons, sur le conducteur C(, une série de distributions monogènes et positives ayant respectivement pour masse totale
Qi, Q3, Q», ..., et pour densité au point M,
^1, A3, As,
Sur le conducteur Co, nous déterminerons une série de distributions monogènes et négatives ayant respectivement pour masse totale
-Qî, -Qv, -Qs, ...,
et pour densité au point M2
— A2, — A4, — Ag,
La proposition énoncée par Murphy est la suivante :
Si le conducteur C|, maintenu au niveau potentiel A, est mis en présence du conducteur C2 maintenu au niveau potentiel o, la densité électrique au point M, du conducteur C) aura pour valeur
(5) 8, = A,-+- A3+ Aj-f-...,
et la densité électrique au point Ma du conducteur C2 aut^a pour valeur
(6) — §2 = - A2-Ai— Ae — ....
Cette proposition, à laquelle Murphy a été évidemment conduit
par l'ancienne théorie dite de Vélectricité dissimulée, est démontrée par M. Cari Neumann (*) de la manière suivante : Les égalités (i) et (3) donnent
Q2^KQ„ Qv^KQ3, Qe^KQs, QaSK'Qa, Qs^K'Qi, ,
et, par conséquent,
Qa^KK'Q,, QslKK'Qa, ...,
Les deux séries
Qi + Q3-i-Q5-...,
sont donc convergentes.
Observons maintenant que l'on a
Q,=:§Ai^S„ Q3=§A3t/Si, Q5-§A,6?S,, .. ,
Q^^^A^^S,, Qv-§A4^S,, Q6=gAcû?S2,
et que les quantités A, , A3, A^, . . ., Ao, A,, Ae, . . . sont toutes positives, et nous verrons immédiatement que les séries (5) et (6) sont convergentes.
Ces séries déterminent donc une véritable distribution électrique sur les conducteurs C) et C2. H reste à prouver que la fonction potentielle de cette distribution est égale à A en tout point du conducteur C) et à o en tout point du conducteur C^.
Soient
les fonctions potentielles des distributions
et
--V2, -V4, -Vfi,, ...
les fonctions potentielles des distributions
— A2, —Ai, — Afi,
(') Carl Neumann, Untersuchungen ùber das logarithmische und Newton'sche Potential, p. 3io. Leipzig, 1877.
