OHAP. XII. — LE PROBLÈME DE MURPHY

n est facile de voir que la fonction potentielle de la distribution donnée par les égalités (5) et (6) sera donnée par la formule

(7) »" --= V,- Vo-- V3 V,-f- V, Vc^. . . .

Mais, en se reportant à la détermination des distributions successives, on voit sans peine que l'on ?i, en tout point du conduc~ leur C| ,

et, en tout point du conducteur Co,

V, — V2=:0, V:,— Vi-:(), Vi— Vo=0,

La formule (7) montre donc que l'on a, en tout point du conducteur C|,

et, en tout point du conducteur C2,

ce qui achève de légitimer la méthode de Murphy.

§ 4. — Méthode combinatoire de M. Cari Neumann.

La méthode de Murphj résout, dans un cas particulier, le problème général auquel nous avons donné le nom àe problème de Murphy : sachant résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur au conducteur Ci et pour V espace extérieur au conducteur Go, le résoudre pour l'espace extérieur à l'ensemble des conducteurs Ci et C2. Lipschitz (') et M. Cari Neumann (2) ont montré comment on pouvait étendre la méthode de Murph}', de manière à obtenir la solution générale du problème précédent. Mais, malgré cette généralisation, la méthode de Murphv laisse à désirer en un point : elle n'a pas d'analogue dans la théorie des fonctions harmoniques de deux variables (^) et, par conséquent, interrompt le parallélisme entre la théorie de la fonction

(') Lipschitz, Crelle's Journal fiir reine und angevandte Mathematik, Bd LXI, p. 12.

(') Carl Neumann, Untersuchungen iiber das logarithmische und Newton'sche Potential, p. 3i2. Leipzig, 1887.

(') Le corollaire sur lequel repose la justification du procédé de Murphy n'a pas d'analogue dans le p!an.

potentielle logarithmique et la tliéoric de la fonction potentielle newtonienne.

M. Cari Neumann (*) a rétabli ce parallélisme en créant, pour résoudre le problème de Murpliy, une méthode combinatoire qui s'applique également aux fonctions harmoniques de deux et de Irois variables.

Soit E l'espace extérieur aux deux conducteurs C,, G2. H s'agit de former une fonction V(M), hai^monique dans l'espace E, et ])renant aux divers points m, de la surface S| des valeurs données r(mi), et aux divers points m-i de la surface S2 des valeurs également données (^(mo). Les valeurs ^^(m,) varient d'une manière continue sur la surface S, et les valeurs vi^m-^) varient d'une manière continue sur la surface S^.

Supposons que nous ayons déterminé une fonction W)(M), harmonique dans l'espace E, prenant sur la surface S| les valeurs données ('(w,) et sur la surface S2 la valeur o; puis une deuxième fonction Wo (M), harmonique dans l'espace E, prenant sur la surface S^ les valeurs données (^(ma) et sur la surface S( la valeur o.

La fonction

\Viai)^-\V2(M)

sera harmonique dans tout l'espace E, et prendra les valeurs données sur les surfaces S|, So.

Le problème que nous cherchons à résoudre peut donc être ramené à deux problèmes du genre de celui-ci :

Trouver une fonction harmonique dans V espace E, prenant sur la surface S, des valeurs données^ variables d^ une manière continue, (^(/Wi), et sur la surface S^ la valeur o.

Soit G la plus grande valeur absolue des quantités (^(/?î,).

Formons une première fonction, W,(M), harmonique dans l'espace E, prenant sur la surface S^ la valeur o et, sur la surface Sj, les valeurs, toutes positives, r(m))-|- G; puis une seconde fonction, W2(M), harmonique dans l'espace E, prenant sur la surface S2 la valeur o et, sur la surface S(, la valeur constante et positive G. La fonction

Wi(M) — WîCM)

résoudra évidemment le problème précédent.

(') Carl Neumann, Untersuchungen, ..., p. 3i3.

CHAP. XII. — LE PROBLÈME DE MURPIIV. 7.yS

Nous sommes donc ramenés, en dernière analyse, au problème dont voici l'énoncé :

Trouver une fonction V(M), harmonique dans l'espace E, prenant en tout point de la sur/ace Sj la valeur o et, aux divers points de la sur/ace S, des valeurs positives données, <'(/??,), variables d'une manière continue.

Formons, ce que nous savons faire par hypothèse, une fonction Vf (M), harmonique dans l'espace (E + Co) et prenant sur la surface S| les valeurs données p (/;?,).

Aux divers points de la surface S2, cette fonction prend certaines valeurs u\ .

Formons ensuite, ce que nous savons également faire par hypothèse, une fonction U2(M), harmonique dans l'espace (EH-Ci) et prenant sur la surface So les valeurs u].

Aux divers points de la surface S,, cette fonction prend certaines valeurs u'.^.

Formons une foncti on U3 ( M ) , harmonique dans l'espace (E -h G2) et prenant sur la surface Sj les valeurs u'.^.

Aux divers points de la surface Sa, cette fonction prend certaines valeurs u"^.

En continuant de la sorte, nous formerons alternativement les fonctions contenues dans les deux Tableaux que voici :