II.— Fonctions harmoniques dans l'espace (E-f-Ci

Valeurs sur

Fonctions. S^. S,.

Ut(M) u":i U;

Uc(M) u',

UyQ LIVRE II. — DISTRIBUTION ET PROBLÈME DE DIRICHLET.

Nous allons démontrer que l'égalilé

(8) V(M) = U,(M) - UîCM) + U3(M) - U^M) -^. . .

définit une fonction harmonique dans l'espace E, prenant sur la surface S, les valeurs v{mt) et sur la surface S2 la valeur o.

D'après le théorème de M. Vito Volterra, il nous suffit de démontrer que, sur les surfaces S^, So, cette série converge uniformément vers les valeurs que nous venons d'indiquer.

Supposons que la fonction W(M), harmonique dans tout l'espace (E + G2), prenne la valeur i en tout point de la surface S, ; elle prendra, en tout point de l'espace (E + Go), des valeurs inférieures à I . En particulier, en tout point de la surface So, on aura l'inégalité

WSK,

R étant une quantité positive certainement inférieure à l'unité.

Désignons par G la plus grande des valeurs positives ç(m') données sur la surface S). 11 est facile de voir qu'en tout point de la surface So on aura

u\ 1 KG.

Gonsidérons en effet la fonction

GW(M) — Ui(IVl).

Elle est harmonique dans tout l'espace (E + Co) ; elle est égale à o à l'infini et ne peut avoir aucune valeur négative sur la surface Si ; elle ne peut donc prendre aucune valeur négative dans l'espace (E -+- Co), et en particulier sur la surface So, d'où résulte immédiatement la démonstration de l'inégalité précédente.

Nous avons donc, sur la surface S| ,

t^(m)Ç G, et, sur la surface Sa,

u\ ^KG.

Si nous désignons par K' une quantité positive, inférieure à i et analogue à K, nous déduirons aisément de l'égalité précédente qu'en tout point de la surface S) on a

u'^iKK'G.

En continuant de la sorte, nous arriverons aux résultats contenus dans les Tableaux, suivants :

CIIVP. XII.