AB.Q.2/ ^ — cosX
Mais on a
m = ^.AB, M = Q.i/.
Le moment précédent devient
m M '^p cosX.
3o LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES.
La coiidilîon d'équilibre de notre aiguille AB est la suivante :
mHsin((o-4-X)— 6(p — co — X) — mM
cosX = o.
On peut l'écrire
An H sinto cosX — ^(v — a))-+-/nH cosa> sinX h- OX = m M —^ — cosX.
Mais les angles co et X sont très petits ; on peut remplacer sin co cos).
par sinto en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, et
comme
/nHsinco — 6(f — (o)=o,
la condition précédente devient
m H coscusinX -+- 6X = mM - v»— cosX.
costosinX peut être remplacé, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, par sinX; OX peut être, au même degré d'approximation, remplacé par Qsin[jL. Si l'on pose
Tégalilé précédente deviendra
, N /(R) M langX = ^— Tî«
Telle est la formule qui donne la valeur limite de tang)^ lorsque les deux aimants sont infiniment éloignés.
Supposons que la /onction /(K) puisse, au moins pour les valeurs de R supérieures à une certaine limite, se développer en une série uniformément convergente ordonnée suivant les puissances entières et négatives de R,
L'équation précédente deviendra
lim(tangX)R = «= ^~ jj — ^-.
Supposons les deux aimants situés à distance finie; soit R la distance du centre de figure de l'aimant ab à l'axe de suspension.
CUAP. II. — INTBXSITR DU MAGNÉTISME TERRESTRE.
L^angle A aura une valeur liée à R par la relation
N M Ao tangX= -— •- ^
\ -M H RP^^ Rp^^
B, C, ... étant des coefficients dont la forme importe peu.
Imaginons maintenant une seconde expérience, analogue à la précédente; l'aimant ab est encore à une grande distance du point O; son axe magnétique est toujours normal à AB, mais, de plus, Taimant lui-même est placé sur la normale à AB {Jlff^ 5).
Fig. 5.
L'aiguille sera, dans ce cas, déviée vers Test d'un angle )/. On verra aisément que la condition d'équilibre de l'aiguille est, dans ce cas,
m H sin (et) -t- X') = e(i^ — eu — X')-t- Mm /(R - 0--/(R -^ ^^^^^
ce qui, toute simplification faite, peut s'écrire de la manière suivante
m H costo sinX'-h 6 sinX' = — M/w -~.-t — cosX',
ou encore
,, N d/(R) M tangX =— -, "^^K-^ TT-
Telle est la formule qui donne la limite vers laquelle tend tang)/ lorsque Ton éloigne infiniment les deux aimants. En vertu de l'hj-
polhèse exprimée par la formule (8), on peut Técrire
lim(tangX )r=. = j^-^ H ^ rT^TÎ"
Si Ton prend deux aimants situés à distance finie, Pangle )/ aura une valeur liée à la distance R du milieu des deux aimants par une relation de la forme
., N M Ao B' G
^ ^ fe ?^ -f- 1 H '^ Rp^» R/'+« Rp+«
Dans une expérience où R était toujours égal ou supérieur à quatre fois la longueur de Taimant ab, Gauss a trouvé que tang^ et tang V pouvaient être représentés par les deux formules
tangX =0,043435 ^- -f- 0,002449 j^.
tangX' = 0,086870 Tj- -i- 0,002 i8j ^77»
La comparaison de ces résultats de Texpérience nous donne
jj^/tangV\ __
\tangX/R==«" ^'
Or la comparaison des formules (9) et (10) donne
la 112)/
lim
ta
ngX/R=„ ^'
L'expérience de Gauss démontre donc que Ton a
Ainsi donc, si nous voulons que /(R) soit développable en série uniformément convergente, ordonnée suivant les puissances négatives de R, celte série sera forcément de la forme
en d'autre? termes, pour les distances très grandes de r, la fonction /(r) varie en raison inverse du carré de la distance. Cette vérité, établie par Gauss d'une manière très précise, "vient à l'appui de l'hypothèse à laquelle Coulomb avait été amené par ses expériences; cette hypothèse, que nous admettrons désormais,
